1995　神戸大学　前期MathJax

【１】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$をみたす実数$\theta$に対して，行列$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$による一次変換が点$\mathrm{P}(1,\sqrt{3})$を点$\mathrm{Q}$に移すものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S\left(\theta \right)$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(2)　$S\left(\theta \right)$を最大にするような$\theta$を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}a>0\text{，}b<0\text{）}$をとり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$l\text{，}m$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　この放物線と$2$接線$l\text{，}m$によって囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$と$b$の式で表せ．

(2)　直線$l$を原点の周りに$45°$回転して得られる直線を$l^{\prime }$とするとき，$l^{\prime }$の方程式を求めよ．

(3)　接線$m$が直線$l^{\prime }$と平行であるとき，面積$S$を$a$のみの式で表せ．また，$a$の動く範囲が$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　自然数$n$について，

$T_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n}}$

とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$n\geqq 2$ならば，不等式

${\displaystyle \frac{7}{12}}\leqq T_n$

が成り立つことを示せ．

(2)　等式

$T_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　不等式

$T_n\leqq {\displaystyle \frac{n}{n+1}}$

が成り立つことを示せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=90°\text{，}\angle \mathrm{BOC}=60°\text{，}$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$の長さはそれぞれ$a\text{，}a\text{，}2$である．このとき，点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内部（辺上を含む）にあるための$a$の条件を求めよ．

【３】　数列$\{x_n\}$が

$x_{n+3}=x_n+x_{n+1}+x_{n+2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとき，数列$\{x_n\}$は性質(F)を持つということにする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　数列$\{u_n\}\text{，}\{v_n\}$がともに性質(F)を持つならば，$\alpha \text{，}\beta$を実数とするとき数列$\{\alpha u_n+\beta v_n\}$は性質(F)を持つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$は性質(F)を持ち，数列$\{a_n\}$の初めの$3$項は順に$1\text{，}0\text{，}0\text{，}$数列$\{b_n\}$の初めの$3$項は順に$0\text{，}1\text{，}0\text{，}$数列$\{c_n\}$の初めの$3$項は順に$0\text{，}0\text{，}1$である．このとき，性質(F)を持つ数列$\{y_n\}$は，ある実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を選んで，$\{\alpha a_n+\beta b_n+\gamma c_n\}$と表すことができることを示せ．

(3)　数列$\{d_n\}\text{，}\{e_n\}\text{，}\{f_n\}$は性質(F)を持ち，数列$\{d_n\}$の初めの$3$項は順に$0\text{，}1\text{，}1\text{，}$数列$\{e_n\}$の初めの$3$項は順に$1\text{，}1\text{，}0\text{，}$数列$\{f_n\}$の初めの$3$項は順に$1\text{，}0\text{，}-1$である．このとき，性質(F)を持ち，初めの$3$項が$1\text{，}1\text{，}1$である数列$\{h_n\}$は，どのように実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を選んでも$\{\alpha d_n+\beta e_n+\gamma f_n\}$と表すことができないことを示せ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　$t$の関数$y$で

${\displaystyle \frac{d}{dt}}(e^{t}y)=\cos t$

をみたすものを求めよ．

(2)　$xy$平面上を運動する二つの点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がある．時刻$t$における点$\mathrm{P}$の位置は$(-1,e^{-t}\cos t)$である．また時刻$t$における点$\mathrm{Q}$の速度ベクトルは$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$に等しく，$t=0$のときの点$\mathrm{Q}$の位置は$(1,0)$である．このとき，次の各問に答えよ．

(ⅰ)　時刻$t$における点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．

(ⅱ)　$t\geqq 0$のとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となる時刻と，そのときの点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．

【５】　箱の中に$1$から$n$までの整数が$1$つずつ書いてある$n$枚のカードが入っている．この箱から$1$枚のカードを取りだし，その数を読んで，もとに戻してよくかき混ぜる．この試行を$3$回繰り返したとき，取りだしたカードに書かれている数の最大値と，$3$つの数の和を考える．最大値が$7$であったときに，和が$15$である確率を求めよ．