1995　神戸大学　後期MathJax

【１】　座標平面上を運動する$2$つの点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$があり，時刻$t$における$\mathrm{P}$の座標は$(\cos t,\sin t)\text{，}\mathrm{Q}$の座標は$(4-5\cos t,3\sin t)$である．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ描く曲線を図示せよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の位置を求めよ．

【２】　$xy$平面上の$2$次曲線

$C\text{：}{x}^2-2xy+y^2-\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y=0$

について，次の各問いに答えよ．

(1)　曲線$C$を，原点を中心に適当に回転し，放物線$y=a{x}^2+bx+c$の形に変形せよ．ただし，$a>0$である．また，そのときの$a\text{，}\mathrm{>b}\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$2y-x+6\sqrt{2}=0$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が条件

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=a& \\ {\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{h}}=|a_n-1|& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

をみたすとき，次の各問いに答えよ．ただし，$0<h<1\text{，}a<1$とする．

(1)　$a_2$および$a_3$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 4& -1\end{array}\right)$および$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$について，次の各問いに答えよ．

(1)　逆行列$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$A=pE+q{A}^{-1}$をみたす数$p\text{，}q$を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して

$A^n=p_{n}E+q_n{A}^{-1}$

をみたす数$p_n\text{，}{q}_n$が定まることを示し，$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n$と$q_n$によって表せ．ただし，$A^n$は行列$A$の$n$個の積である．

【３】　次の各問いに答えよ．

(1)　正の実数$h$に対して，数列$a_n\}$が条件

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=2& \\ {\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{h}}=a_n-1& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

をみたすとする．このとき，一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$y$を$t$の関数とするとき，微分方程式

$\{\begin{array}{c}y(0)=2\\ {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=y-1\end{array}$

を解け．

(3)　$k>0$が与えられたときの(1)をみたす数列の第$n$項を$a_n$とし，$y(t)$を(2)の解とする．このとき，$t$が正の実数ならば

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\left({\displaystyle \frac{t}{n}}\right)=y(t)$

となることを示せ．

【４】　白$6$本，黒$6$本，計$12$本の同じ形の棒がある．これをよく混ぜて$3$本ずつ$4$つの組にわけ，各組内の$3$本が同色かどうかを調べ，$3$本とも同色である組の数が$n$である確率を$p_n$とする．このとき，$4$つの確率$p_4\text{，}{p}_3\text{，}{p}_1\text{，}{p}_0$を求めよ．

【５】　関数$f(x)=x\sin x$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，関数$f(x)$のグラフとその導関数$f^{\prime }(x)$のグラフの交点はただ$1$つであることを示せ．また，その交点の$x$座標を$x_0$とするとき，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<x_0<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であることも示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq x_0$において，関数$f(x)$と$f^{\prime }(x)$のグラフによって囲まれる図形を$x$軸の周りに一回転して得られる回転体の体積を$A$とし，$x_0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$f(x)\text{，}{f}^{\prime }(x)$のグラフおよび直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$によって囲まれる図形を$x$軸の周りに一回転して得られる回転体の体積を$B$とするとき，$A\text{，}B$の大小を比較せよ．