1995　広島大学　前期MathJax

【１】

　(1)　$2$次方程式$x^2+7x+11=0$の二つの解を$\tan \alpha$および$\tan \beta$と表すとき，${\cos }^2(\alpha +\beta )$の値を求めよ．

【１】

　(2)　$5^n+{12}^n={13}^n$を満たす正の整数$n$は$n=2$に限ることを証明せよ．

【１】

　(3)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(16x^2)\cdot {\log }_2\left({\displaystyle \frac{x}{32}}\right)\geqq 12$を満たす$x$の範囲を求めよ．

【２】　平面上で，原点を通りベクトル$\overrightarrow{e}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$に平行な直線を$l$とし，$l$に関する対称移動を表す$1$次変換の行列を$A(\alpha )$とおく．

(1)　行列$A(\alpha )$は

$A(\alpha )=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)$

で与えられることを示せ．

(2)　原点のまわりに角度$\theta$の回転を表す行列を$R(\theta )$とすると

$A(\alpha )A(\beta )=R(2(\alpha -\beta ))$

が成り立つことを示せ．

(3)　$n$を正の整数，$0\leqq \alpha <2\pi$とするとき，$2n$個の行列の積

$A(2n\alpha )A((2n-1)\alpha )\cdots A(2\alpha )A(\alpha )$

が単位行列となるような$\alpha$をすべて求めよ．

【３】　平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円と，$2$点$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(-2,-4)$がある．点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$は$0<\theta <\pi$の範囲で半円周上を動く．点$\mathrm{Q}$を$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点とし，四角形$\mathrm{PABQ}$の面積を$S$とする．

(1)　$t=\cos \theta +\sin \theta$とおくとき，$S$を$t$で表せ．

(2)　$S$の最大値を求めよ．

【４】　空間内に三つの点$\mathrm{A}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,1,4)\text{，}\mathrm{C}(3,3,2)$が与えられている．

(1)　$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から等距離にある点のなす平面$\alpha \text{，}$および$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$から等距離にある点のなす平面$\beta$の方程式を求めよ．

(2)　(1)の二つの平面$\alpha$と$\beta$の交線の方程式を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る球のうち，半径が最小となる球の中心の座標と半径を求めよ．

【５】　各項がすべて正の整数であるような二つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$の第$b_n$項を$p_n\text{，}$数列$\{b_n\}$の第$a_n$項を$q_n$とおく．

(1)　$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$はそれぞれ初項$a\text{，}b\text{，}$公差$\alpha \text{，}\beta$の等差数列であるとする．ただし$a\text{，}b\text{，}\alpha \text{，}\beta$は正の整数である．新しい二つの数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}$は共に等差数列となることを示せ．

(2)　$\{a_n\}$は初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列，$\{b_n\}$は初項$b\text{，}$公比$r$の等比数列である．$m$を正の整数として

$S_m={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{p}_k\text{，}{T}_m={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{q}_k$

を求めよ．ただし，$a\text{，}d\text{，}b$は正の整数で，$r$は$2$以上の整数である．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -a& -b\end{array}\right)$は関係式$ABA=A$を満たすものとする．

(1)　行列$A$で表される$1$次変換により平面全体は原点を通る直線$l$にうつされる．直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　平面上のベクトル$\overrightarrow{v}$が直線$l$に平行であれば，$\overrightarrow{v}$は方程式$AB\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$を満たすことを示せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{w}$は零ベクトルではなく，しかも$l$に平行でないとする．そのとき二つのベクトルの大きさの比${\displaystyle \frac{|AB\overrightarrow{w}-\overrightarrow{w}|}{|A\overrightarrow{w}|}}$を最小とするような行列$B$を求めよ．

【２】　放物線$C:y=6x^2$上に二つの定点$\mathrm{A}(a,6a^2)$と$\mathrm{B}(b,6b^2)$がある．ここで$a<b$であり，$L=b-a$とおく．

(1)　$C$上に動点$\mathrm{P}(p,6p^2)$をとる．ただし$p$は$a<p<b$を満たす．折れ線$\mathrm{APB}$と放物線$C$で囲まれた図形の面積を最小にする$p$の値を求めよ．

(2)　$C$上に二つの動点$\mathrm{P}(p,6p^2)$と$\mathrm{Q}(q,6q^2)$をとる．ただし$a<p<q<b$とする．折れ線$\mathrm{APQB}$と$C$が囲む面積を$S$とし，$s=p-a\text{，}t=q-p\text{，}u=b-q$とおく．さらに

$M={(s-{\displaystyle \frac{L}{3}})}^2+{(t-{\displaystyle \frac{L}{3}})}^2+{(u-{\displaystyle \frac{L}{3}})}^2\text{，}$

$N=s{(s-{\displaystyle \frac{L}{3}})}^2+t{(t-{\displaystyle \frac{L}{3}})}^2+u{(u-{\displaystyle \frac{L}{3}})}^2$

とおくとき，$S$を$L\text{，}M\text{，}N$で表せ．

(3)　(2)で求めた$S$を最小にする$s\text{，}t\text{，}u$の値はいくらか．

【３】　空間に球面$x^2+y^2+z^2=25$と平面$x+2y+2z-9=0$がある．球面と平面が交わってできる円を$C$とする．

(1)　$C$の半径と，$C$の中心${\mathrm{O}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}(0,3,6)$と$C$上の動点$\mathrm{P}$の距離の最大値はいくらか．

【４】　$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=a^{a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$によって数列$\{a_n\}$を定める．ただし$a$は$1$より大きい定数である．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して$a_{n+1}\geqq a_n$が成り立つことを示せ．

(2)　$a\leqq e^{\frac{1}{e}}$であれば，$a_n\leqq e\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．ただし$e$は自然対数の底である．

(3)　数列$\{a_n\}$が実数$t$に収束したとする．つまり$t$は

$t=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{a_n}=a^t$

を満たすとする．そのとき$a\leqq e^{\frac{1}{e}}$であることを導け．

【５】　$x$の関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(e^{x-t}\cos t-1)dt$を考える．ただし$e$は自然対数の底で$2$より大きい．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$は$x>0$で増加することを示せ．

【６】　図のような格子状道路があり，ある時刻に甲は$\mathrm{A}$地点$(0,0)$に，乙は$\mathrm{B}$地点$(3,3)$にいる．甲が$1$秒毎に上隣の地点（道路の交点）に移動する確率を$p\text{，}$右隣の地点に移動する確率を$q\text{，}$同じ地点にとどまる確率を$r=1-p-q$とする．また乙は$1$秒毎に確率$p$で左隣の地点に，確率$q$で下隣の地点に移動し，確率$r$で同じ地点にとどまる．

(1)　$r=0$のとき，甲と乙が地点$\mathrm{C}(1,2)$で出会う確率を求めよ．

(2)　$r=0$のとき，$2$人がどこかで出会う確率を求めよ．

(3)　$r>0$のとき，$2$人が$4$秒後に地点$\mathrm{C}$で初めて出会う確率はいくらか．