1995　高知大学　前期MathJax

【１】　座標平面に$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1)\text{，}$および原点を中心として半径$\sqrt{2}$の円周上の点$\mathrm{C}$がある．

(1)　$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$それぞれの垂直二等分線は原点を通ることを示せ．

(2)　$\mathrm{C}(1,1)$のとき，$\mathrm{CA}$の垂直二等分線に関する対称移動，$\mathrm{BC}$の垂直二等分線に関する対称移動，それに$\mathrm{AB}$の垂直二等分線に関する対称移動の$3$つを合成した変換はある直線に関する対称移動となるという．その直線の方程式を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とおく．

(1)　$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$は同一平面上にあることを示せ．

(2)　$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$であれば，四辺形$\mathrm{KLMN}$は長方形となることを示せ．

【３】　数列$\{a_n\}$が$a_1=0\text{，}{n}^2{a}_{n+1}={(n+1)}^2{a}_n+2n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義されている．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義するとき，隣接する$2$項$b_n\text{，}{b}_{n+1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$で表せ．

【４】　座標平面に放物線$C\text{：}y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,b)$とが与えられている．

(1)　点$\mathrm{P}$から放物線$C$に，異なる$2$本の接線を引くことができるとき，$a$と$b$との間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から引いた$2$本の接線の$C$における$2$つの接点を$\mathrm{Q}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{R}(x_2,y_2)$（ただし$x_1<x_2$）とし，$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{H}(x_3,y_3)$とする．このとき$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{H}$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{PHQ}$の面積$S$を$a$と$b$で表せ．

(4)　$S=1$のとき，$\mathrm{P}$および$\mathrm{H}$の描く軌跡の方程式を求めよ．

【１】　座標空間に$2$点$\mathrm{P}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\sqrt{3})\text{，}\mathrm{Q}=(0,0,2)$がある．原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$l$を回転軸として点$\mathrm{Q}$をある向きに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転させた点を$\mathrm{R}\text{，}$逆向きに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転させた点を$\mathrm{S}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}$から$l$までの距離を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$間の距離を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．

【２】　行列$A\text{，}E\text{，}O$は

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

である．

(1)　$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$となることを示せ．

(2)　この行列$A$ともう$1$つの行列$B$は

$A^4=E\text{，}{B}^2=E\text{，}BAB=A^3$

を満たすとする．

(ⅰ)　$B{A}^2=A^{2}B$となることを示せ．

(ⅱ)　$(a+d)(AB-BA)=O$となることを示せ．

(ⅲ)　$A^3\ne A$ならば，$A^2=-E$となることを示せ．

【３】　$\alpha$と$\beta$が閉区間$[{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{3}}]$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin (\alpha +\beta )}}$の最大値と，そのときの$\alpha$と$\beta$を求めよ．

【４】　座標平面の点列${\mathrm{P}}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は${\mathrm{P}}_1=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$と，関係式

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$

で与えられている．

(1)　${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{P}}_{n+3}$の関係式を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_{3n-2}\text{，}{\mathrm{P}}_{3n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_{3n}$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【５】　座標空間の立体$D$は，$2$つの平面$x=-a$と$x=a$の間にあり，$0\leqq \theta \leqq \pi$になる実数$\theta$について，$x=a\cos \theta$で定義された平面と$D$との交わり$C_{\theta }$は正方形$\left|y\right|+\left|z\right|\leqq b\sin \theta$になるとする．ここで$a\text{，}b$は正の数である．

(1)　$C_{\theta }$の面積を求めよ．

(2)　$D$の体積を求めよ．

【６】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$を正数の数列で$a_1=1\text{，}{a}_2=a\text{（}a\ne 1\text{）}$とし，さらに数列${\log }_a{a}_1\text{，}{\log }_a{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{\log }_a{a}_n\text{，}\cdots$の階差数列$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n\text{，}\cdots$は公差$2$の等差数列になるとする．

(1)　$b_n$を求めよ．

(2)　数列${\log }_4{a}_1\text{，}{\log }_4{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{\log }_4{a}_n\text{，}\cdots$の階差数列も等差数列であることを示せ．さらにその公差が$1$であるとき，$a$と$a_n$を求めよ．

(3)　$1000$に最も近い値となる$a_n$の$n$を求めよ．