1995　九州大学　前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ c& d\end{array}\right)$によって表される一次変換$f$は，$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(2,0)\text{，}\mathrm{Q}(1,\sqrt{3})$を頂点とする正三角形を面積$4$倍の正三角形に移すという．次の問いに答えよ．

1.　行列$A$を求めよ．

2.　原点を中心とし半径$1$の円の一次変換$f$による像を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$上の原点と異なる点$\mathrm{A}(a,a^2)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．$x$軸を，点$\mathrm{P}$のまわりに正の向きに角$2\theta$だけ回転させて得られる曲線を$L$とする．次の問いに答えよ．

1.　直線$L$を表す式を求めよ．

2.　直線$L$と放物線$y=x^2$との交点の$x$座標の値がいずれも${\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}}$より小さくなるような$a$の取りうる範囲を求めよ．ただし$a\ne \pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$と仮定する．

【３】　$3$次曲線$C:y=f(x)=x^3-3x$について次の問いに答えよ．

1.　$t\ne 0$に対して，$C$上の点$(t,f(t))$を通り，他の点で$C$に接する直線を$L$とする．このとき，この接点の$x$座標を$t$で表し，$L$の方程式を求めよ．

2.　曲線$C$と，直線$L$とで囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を自然数とする．右の図のような南北$am\text{，}$東西$bm$の長方形の部屋$\mathrm{ABCD}$に$2$辺が$2m\text{，}3m$の長方形の板をすきまなく，また，板が互いに重なりあうことのないように敷き詰めたい．次の各場合に，板の敷き詰め方の総数を求めよ．

1.　$a=6\text{，}b=7$のとき．

2.　$a=6\text{，}b=18$のとき．

3.　$a=8\text{，}b=9$のとき．

【１】　次の問いに答えよ．

1.　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$は$b\ne 0$を満たすとする．行列$A$で表される一次変換$f$によって直線$y=\alpha x$はそれ自身に移り，また直線$y=\beta x$もそれ自身に移るという．$\alpha \ne \beta$のとき，この$2$つの直線$y=\alpha x$と$y=\beta x$とは直交することを証明せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

2.　正の整数$l\text{，}m\text{，}n$で${(l^m)}^n>l^{m^n}$を満たす組$(l,m,n)$をすべて求めよ．

【２】　$xyz‐$空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,1,2)\text{，}\mathrm{B}(0,-1,2)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{P}(a,b,3)$をとる．ただし$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とを結ぶ直線が$xy‐$平面と交わる点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．次の問いに答えよ．

1.　点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

2.　三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$が正三角形となる点$\mathrm{P}={\mathrm{P}}_0$を求めよ．

3.　点$\mathrm{Q}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る半円周$y^2+{(z-2)}^2=1\text{，}x=0\text{，}z\leqq 2$上を動くとき，$2$点${\mathrm{P}}_0\text{，}\mathrm{Q}$を結ぶ直線と$xy‐$平面との交点${\mathrm{Q}}^{\prime }$の軌跡を求めよ．

【３】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{n^2}}=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の第一象限内の部分と，直線$y={\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}x$および$x$軸で囲まれる部分を$A_n$とし，$A_n$の面積を$S_n$で表す．また，$A_n$の内部および周上の点$(x,y)$のうち，$x$と$y$がともに整数であるものの総数を$T_n$で表す．次の問いに答えよ．

1.　$T_n\text{，}{S}_n$を求めよ．

2.　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$を求めよ．

【４】　曲線$y=f(x)\text{（}x>0\text{）}$上の任意の点$(t,f(t))$における接線は$y$軸と点$(0,(t^2-1)f(t))$で交わるという．次の問いに答えよ．

1.　関数$y=f(x)$の満たす微分方程式を求めよ．

2.　曲線$y=f(x)$が点$(1,1)$を通るとき，関数$f(x)$を求めよ．

3.　上に求めた関数$f(x)$の最大値およびそのときの$x$の値を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$どちらの袋にも，赤球と白球が$1$個ずつ入っているとして，次の操作を行う．$2$つの袋から無作為に$1$個ずつ取り出し，同じ色なら$2$つとも$\mathrm{A}$の袋に入れ，異なる色なら$2$つとも$\mathrm{B}$の袋に入れる．この操作をどちらかの袋の球がなくなるまで続けるとする．$n$を自然数とし，$2n$回までこの操作が続いた後，$\mathrm{A}$の袋に$4$個の球が入っている確率を$p_n\text{，}$赤，白の球が$1$個ずつ入っている確率を$q_n\text{，}$同じ色の球$2$個が入っている確率を$r_n\text{，}$球が入っていない確率を$s_n$とする．次の問いに答えよ．

1.　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1\text{，}{s}_1$を求めよ．

2.　$n\geqq 2$のとき，$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$を$q_{n-1}\text{，}{r}_{n-1}$を用いて表せ．

3.　$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$を求めよ．