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1995-10842-0201
1995 九州大学 後期
工学部
配点35点
易□ 並□ 難□
【1】 原点を中心とする半径 1 の球面 S の外側に点 A ( a,b, c) があるとする.
(1) 点 A を通り球面 S に接する直線は無数にある.それらの直線と S との接点の集合を E とする.集合 E は,ある平面 H の部分集合である.平面 H の方程式を求めよ.
(2) 平面 H は球面 S の内部を 2 つの部分に分ける.この 2 つの部分のうち,原点を含まない方の体積を V 1 とする.また,(1)で考えた接線の全部と平面 H とで囲まれた円錐の体積を V 2 とする.原点と点 A との距離を r として limr→ 1 V1V 2 の値を求めよ.
1995-10842-0202
【2】 θ が 0 ≦θ≦ 2⁢π の範囲を動くとき
( x y) =( 1 2 - 12 12 1 2 )⁢ (2 ⁢cos⁡θ sin⁡ θ)
を満たす点 ( x,y ) がえがく曲線を C とし,
( x y) =( -1 2 - 12 12 -1 2 )⁢ (2 ⁢cos⁡θ sin⁡ θ)
を満たす点 ( x,y ) がえがく曲線を C ′ とする.
(1) 曲線 C と曲線 C ′ の概形をかけ.
(2) 曲線 C で囲まれた図形と C ′ で囲まれた図形との共通部分を直線 y =x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ.
1995-10842-0203
配点40点
【3】 次の問いに答えよ.
(1) x の関数
f1 ⁡( x)= x ,f 2⁡( x)= 1-| x|
が与えられている. a を実数とするとき, g⁡( a)= ∫ 01 f1⁡ (x )⁢ f2⁡ (x+ a)⁢ dx を計算せよ.
(2) 上記の g ⁡(a ) の値を最大にする a およびそのときの g ⁡(a ) の値を求めよ.
1995-10842-0204
【4】 右図のように,上部のみが開いている高さ h , 幅 b , 奥行 1 の直方体容器が水平な台の上に置かれていて,中に水が一杯満たしてある.図の PQ を軸にして容器をゆっくり回転させ.水を容器の外に流出させる.台と容器の底面とのなす角度を θ とする.
(1) 容器に残っている水の体積 V を θ , b ,h を用いて表せ.
(2) 時刻 t における角度 θ が θ =ω⁢t ( ω は正の定数)で表されるとき,水の流出体積速度 f =- dVd t を求め, f が最大となるときの値を ω , b ,h を用いて表せ.