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1995 九州大学 後期

工学部

配点35点

易□ 並□ 難□

【1】 原点を中心とする半径 1 の球面 S の外側に点 A ( a,b, c) があるとする.

(1) 点 A を通り球面 S に接する直線は無数にある.それらの直線と S との接点の集合を E とする.集合 E は,ある平面 H の部分集合である.平面 H の方程式を求めよ.

(2) 平面 H は球面 S の内部を 2 つの部分に分ける.この 2 つの部分のうち,原点を含まない方の体積を V 1 とする.また,(1)で考えた接線の全部と平面 H とで囲まれた円錐の体積を V 2 とする.原点と点 A との距離を r として limr 1 V1V 2 の値を求めよ.

1995 九州大学 後期

工学部

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】  θ 0 θ 2π の範囲を動くとき

( x y) =( 1 2 - 12 12 1 2 ) (2 cosθ sin θ)

を満たす点 ( x,y ) がえがく曲線を C とし,

( x y) =( -1 2 - 12 12 -1 2 ) (2 cosθ sin θ)

を満たす点 ( x,y ) がえがく曲線を C とする.

(1) 曲線 C と曲線 C の概形をかけ.

(2) 曲線 C で囲まれた図形と C で囲まれた図形との共通部分を直線 y =x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ.

1995 九州大学 後期

工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.

(1)  x の関数

f1 ( x)= x f 2( x)= 1-| x|

が与えられている. a を実数とするとき, g( a)= 01 f1 (x ) f2 (x+ a) dx を計算せよ.

(2) 上記の g (a ) の値を最大にする a およびそのときの g (a ) の値を求めよ.

1995 九州大学 後期

工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

1995年九州大後期工学部【4】19950108420204の図

【4】 右図のように,上部のみが開いている高さ h b 奥行 1 の直方体容器が水平な台の上に置かれていて,中に水が一杯満たしてある.図の PQ を軸にして容器をゆっくり回転させ.水を容器の外に流出させる.台と容器の底面とのなす角度を θ とする.

(1) 容器に残っている水の体積 V θ b h を用いて表せ.

(2) 時刻 t における角度 θ θ =ωt ω は正の定数)で表されるとき,水の流出体積速度 f =- dVd t を求め, f が最大となるときの値を ω b h を用いて表せ.



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