1995　九州工業大学　前期MathJax

【１】　$a$は定数で，$a>1$とする．

(1)　恒等式${\displaystyle \frac{ax+1}{(x+a){(x+1)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x+a}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}+{\displaystyle \frac{C}{{(x+1)}^2}}$が成り立つように定数$A\text{，}B\text{，}C$を$a$を用いて表せ．

(2)　$n$を自然数とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^n}{\displaystyle \frac{ax+1}{(x+a){(x+1)}^2}}dx$を求めよ．

(3)　$g(a)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^n}{\displaystyle \frac{ax+1}{(x+a){(x+1)}^2}}dx$を求めよ．

(4)　$l=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^n}{\displaystyle \frac{1}{{(x+1)}^2}}dx$を求め，$\underset{a\to 1}{\lim }g(a)=l$を示せ．

【２】　$f(x)=\sin x\sin (x-a)$とする．ただし，$a$は$0<a<\pi$を満たす定数とする．

(1)　$f(x)$の増減と極値を調べて，$0\leqq x\leqq \pi$における$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\sin x\sin (x-x)dx$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．

(4)　$0<a<\pi$における$S(a)$の最小値を求めよ．　

【３】　座標空間に直線$l\text{：}x-3={\displaystyle \frac{y-2}{3}}=z$がある．直線$l$と点$(1,0,0)$を含む平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}(3,0,2)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AH}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．直線$l$上の点$\mathrm{C}(t+3,3t+2,t)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　$0\leqq {\displaystyle \frac{S(t)}{3t+2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$を満たす$t$の範囲を求めよ．

(5)　$t$が(4)で求めた範囲にあるとき，$f(t)={\displaystyle \frac{S(t)}{3t+3}}$の最小値を求めよ．

【４】　$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}=a_n+a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$を用いて，行列

$A_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n+1}\\ a_{n+1}& a_{n+2}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を定める．$P$を$P{A}_1=A_2$を満たす行列とする．

(1)　行列$P$を求めよ．また，その逆行列$P^{-1}$を求めよ．

(2)　$P{A}_n=A_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　$(P^3-E)(A_1+A_4+A_7+\cdots +A_{3n-5}+A_{3n-2})-A_{3n+1}=-A_1$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(4)　$B_n=A_1+A_4+A_7+\cdots +A_{3n-5}+A_{3n-2}$とおく．$B_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{A}_{3n}$を求めよ．

【５】　座標平面上の点$\mathrm{P}$から直線$l\text{：}y=ax$におろした垂線の足を${\mathrm{H}}_l$とし，点$\mathrm{P}$を点${\mathrm{H}}_l$に移す$1$次変換を$f$とする．また，点$\mathrm{P}$から直線$m\text{：}y=bx$におろした垂線の足を${\mathrm{H}}_m$とし，点$\mathrm{P}$を点${\mathrm{H}}_m$に移す$1$次変換を$g$とする．ただし，$a\ne b$とする．

(1)　$1$次変換$f$を表す行列$A$と，$1$次変換$g$を表す行列$B$を求めよ．

(2)　次の式が成り立つことを示せ．

${(AB)}^2={\displaystyle \frac{{(ab+1)}^2}{(a^2+1)(b^2+1)}}AB$

(3)　点$\mathrm{P}(p,q)$が$f$により移される点を${\mathrm{Q}}_1$とする．また，点${\mathrm{Q}}_1$が$g$により移される点を${\mathrm{R}}_1\text{，}$点${\mathrm{R}}_1$が$f$により移される点を${\mathrm{Q}}_2$とする．以下同様に，${\mathrm{Q}}_k$が$g$により移される点を${\mathrm{R}}_k\text{，}$点${\mathrm{R}}_k$が$f$により移される点を${\mathrm{Q}}_{k+1}$とする．点${\mathrm{Q}}_n$の座標を求めよ．

(4)　$n\to \infty$のとき${\mathrm{Q}}_n$はどのような点に近づくか．

【６】

　図の$\boxed{\mathrm{A}}$は，確率$p$で$1$を出力し，確率$1-p$で$0$を出力する装置である．また，$\boxed{{\mathrm{B}}_i}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$は，$0$または$1$を入力し，次の規則に従って$0$または$1$を出力する装置である．

(a)　入力が$0$のとき，$0$を出力する．

(b)　入力が$1$のとき，確率$q$で$1$を出力し，確率$1-q$で$0$を出力する．

(1)　$\boxed{{\mathrm{B}}_1}$の出力$x_1$が$1$である確率を求めよ．

(2)　$x_1$が$0$であるとき，$\boxed{\mathrm{A}}$の出力が$1$である確率（条件付き確率）を求めよ．

(3)　$\boxed{{\mathrm{B}}_n}$の出力$x_n$が$1$である確率を求めよ．

(4)　$x_n$が$0$であるとき，$\boxed{\mathrm{A}}$の出力が$1$である確率（条件付き確率）を求めよ．

(5)　$\boxed{{\mathrm{B}}_i}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$のうち出力が$1$であるものの個数を$M$とする．$M=k\text{（}0\leqq k\leqq n\text{）}$となる確率$P_k$を求めよ．

(6)　$M$の平均値を求めよ．

【７】　右図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体を，$1$つの頂点が原点$\mathrm{O}$と一致し，その頂点と立方体の中心を通る対角線が$z$軸と一致するように置く．ただし，図の頂点$\mathrm{A}$は$xz$平面上にあり，頂点$\mathrm{B}$の$x$座標，$y$座標，$z$座標はすべて正であるとする．

(1)　頂点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　折れ線$\mathrm{OABC}$上の点$\mathrm{P}(x,y,z)$から$z$軸におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{PH}$の長さを$z$で表せ．

(4)　折れ線$\mathrm{OABC}$を$z$軸の周りに$1$回転してできる曲面により囲まれる図形の体積を求めよ．