1995　札幌医科大学　A日程MathJax

【１】　$a^2+c^2=b^2+d^2\ne 0\text{，}ad+cd=0$とし，行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換をとする．さらに，円$C\text{：}{(x-2)}^2+y^2=1$を$f$で移して得られる図形を$D$とする．

(1)　$D$は円であることを示せ．

(2)　円$D$の中心を$(p,q)$とし，$D$と同じ中心をもち，半径が$D$の$2$倍の円を$C^{\prime }$とする．このとき，$C^{\prime }$と$C$が外接するための$p\text{，}q$の条件を求め，この条件を満たす点$(p,q)$の存在する範囲を図示せよ．

【２】　$t$は$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たし，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は曲線$y=\cos x$上の点で，$\mathrm{P}(t,\cos t)\text{，}\mathrm{Q}(t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\cos (t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right)$である．原点を$\mathrm{O}$とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$は鋭角三角形になることがあるか．

【３】(1)　$u={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$とおくとき，$t$を$u$の式で表し，不定積分${\displaystyle \int }\sqrt{u^2+1}du$を求めよ．

(2)　$a>0$とするとき，曲線$x=a{\cos }^4\theta \text{，}y=a{\sin }^4\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の長さを求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の頂点に動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．はじめに$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にあり，各回ごとに$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は独立に隣のどちらかの頂点に移る．どちらも，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$へ，$\mathrm{C}$から$\mathrm{A}$へ移る確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$へ，$\mathrm{C}$から$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から$\mathrm{A}$へ移る確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．また，$N\text{，}n$を自然数とし，$N$回目までの移動で$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に来た場合$n$回目の移動ではじめて$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に来たとすると$X=n\text{，}N$回目までに同じ頂点に来なかった場合$X=0$として確率変数$X$を定める．$X=n$となる確率を$p_n$とするとき$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．（(3)のみ説明も記すこと．）

(1)　$p_1=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$N\geqq 2$のとき$p_2=\boxed{\text{イ}}$である．

(3)　$2\leqq n\leqq N$のとき$p_n$を$p_{n-1}$を用いて表すと$p_n=\boxed{\text{ウ}}$である．

(4)　$1\leqq n\leqq N$のとき$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{\text{エ}}$である．

(5)　$X$の期待値を計算すると$\boxed{\text{オ}}$となる．