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1995 東京都立大 A日程

人文・経済学部

易□ 並□ 難□

【1】 行列 A =( 5 8 38 38 58 ) と実数 x1 y1 に対し,数列 { xn } { yn }

( xn yn )=A ( xn- 1 yn- 1 ) n=2 3 4

で定める.

(1)  2 以上の自然数 n について等式

xn -yn =( 1 4 )n -1 ( x1- y1 )

が成り立つことを示せ.

(2)  x1 = 34 y1 = 14 とするとき, xn y n を求めよ.

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人文・経済学部

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【2】 関数 F (x )=a x3 +x2 +bx について次に答えよ.ただし a b は実数とする.

(1)  0x 1 を満たすすべての x に対して F (x )0 ならば b 0 であることを示せ.

(2)  0x 1 を満たすすべての x に対して F (x ) 0 となるための必要十分条件は, b0 かつ a +b+1 0 であることを示せ.

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人文・経済学部

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【3】  xyz 空間で平面 x +y+z =2 α とし, 4 P1 ( 43 , 43 , 43 ) P 2( 53 , 53 , 85 ) P 3( 83 ,- 13 , 23 ) P 4( 23 , 23 , 53 ) α に関して対称な点を Q1 Q 2 Q3 Q4 とする.

(1)  Q 1 Q 2 の座標はそれぞれ ( 0,0, 0) ( -1,- 1,0 ) であることを示せ.また Q3 Q 4 の座標を求めよ.

(2)  4 P1 P 2 P3 P4 を頂点とする四面体の体積を求めよ.

(注)  2 P ( a,b, c) Q ( a,b ,c ) に対し線分 PQ α と直交し, PQ の中点が α 上にあるときに Q α に関して P と対称な点という.

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人文・経済学部

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【4】 放物線 y =x2 +2 C とする. C の下側にある点 P から C に引いた 2 本の接線と C とで囲まれる図形の面積を S とする.

(1)  2 つの接点を Q R とし, Q x 座標を α R x 座標を β (ただし α <β )とする. S α β を用いて表せ.

(2)  P が原点 ( 0,0 ) と点 ( 1,1 ) を結ぶ線分 l 上を動くときの S の最大値,最小値を求めよ.

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理・工学部

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【1】 関数

f( x)= 13 {| 1- xt |+1 }d t

1 x3 での最大値,最小値を求めよ.

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理・工学部

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1995年東京都立大A理・工学部【2】1995112620106の図

【2】 線分 AB 1 2 に内分する点を O とする. O を中心とし, A を通る半円上に点 P をとる.ただし, P は線分 AB 上にないものとする.点 P と点 B を通る直線が A を通り AB に垂直な直線と交わる点を Q とする.弧 AP の長さは線分 AQ の長さより大きいことを示せ.



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理・工学部

易□ 並□ 難□

【3】(1)  xy 平面上の点 P ( a,b ) から放物線 y =x2 に接線を 2 本引く. 2 つの接点を結んでできる直線 l の方程式を求めよ.

(2) 直線 l 上に点 Q ( a,b ) a2> b となるようにとり,点 Q から放物線 y =x2 に接線を 2 本引く. 2 つの接点を結んでできる直線 m は点 P を通ることを示せ.

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理・工学部

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【4】  xyz 空間で球面 ( x- 12 )2 +( y- 12 )2 +z2 =25 S とし, S の内部に点 P ( a,b, c) をとる.ただし, P S 上にはなく,球の中心 ( 1 2 , 1 2, 0) と異なるものとする.

(1) 点 P を固定し,点 Q S 上を動くときの P Q 間の距離の最小値を d ( P ) とする. d( P ) a b c を用いて表せ.

(2) 平面 z =1 上の中心 A ( 1,1, 1) 半径 12 の円を C とする.点 P C 上を動くときの d ( P ) の最大値,最小値を求めよ.

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理学部数学科

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1995年東京都立大A理(数)学部【5】1995112620109の図

【5】 半径 2 の円の内部に 1 辺の長さ 1 の正方形 ABCD がある.ただし,頂点は円周上にあってもよいものとする.円周上に定点 O をとり, l=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2 を考える.

(1) 正方形 ABCD 2 つの対角線 AC BD の交点を M とする. l OM で表せ.

(2) 正方形 ABCD が円の内部を動くとき, l の最大値,最小値を求めよ.



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理学部数学科

易□ 並□ 難□

【6】(1) 関数 a (x ) b( x) は第 2 次導関数 a ( x) b ( x) をもち, a (x) b (x )=b ( x) a( x) を満たすものとする.また, b( x) 0 とする. f( x)= a( x) b( x) とおくとき,

(☆)  b( x) f ( x)+ 2b (x )f ( x)= 0

が成り立つことを示せ.

(2) (☆)を満たす関数 f ( x) は, f( x)= k1 0x 1 b( y)2 dy +k2 と表せることを示せ.ただし, k1 k2 は定数である.

(3) 微分方程式 a ( x)+ cos x2 +cosx a (x) =0 の解で, a( x)= a( x+2 π) a (0) =1 を満たすものを求めよ.

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理学部数学科

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【7】 変数 x と自然数 n に対し, fn =xn + 1xn とおく.また, t=x+ 1 x とする.

(1)  n2 のとき, fn+ 1= fnt -fn -1 であることを示せ.さらに数学的帰納法を用いて, fn t の整数係数の n 次多項式であることを示せ.

 以下, fn t n-k の係数を An (k ) と書く:

fn= An (0 )t n+A n( 1) tn-1 ++ An (n-1 )t +An (n )

(2)  k が奇数のとき, An (k )= 0 となることを示せ.

(3)  n が偶数のとき, An (n )= -1) n2 2 となることを示せ.

(注)  g t の整数係数の n 次多項式であるとは, g=a 0t n+a 1t n-1 ++ an- 1t +an と表せることである.ただし, a0 a a n-1 an は整数で, a0 0 である.

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