Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1995年度一覧へ
大学別一覧へ
東京都立大一覧へ
1995-11262-0101
1995 東京都立大 A日程
人文・経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 行列 A =( 5 8 38 38 58 ) と実数 x1 ,y1 に対し,数列 { xn }, { yn } を
( xn yn )=A ⁢( xn- 1 yn- 1 ) ( n=2 ,3 , 4 ,⋯ )
で定める.
(1) 2 以上の自然数 n について等式
xn -yn =( 1 4 )n -1 ⁢( x1- y1 )
が成り立つことを示せ.
(2) x1 = 34 , y1 = 14 とするとき, xn と y n を求めよ.
1995-11262-0102
【2】 関数 F ⁡(x )=a ⁢x3 +x2 +b⁢x について次に答えよ.ただし a , b は実数とする.
(1) 0≦x ≦1 を満たすすべての x に対して F ⁡(x )≧0 ならば b ≧0 であることを示せ.
(2) 0≦x ≦1 を満たすすべての x に対して F ⁡(x )⪑ 0 となるための必要十分条件は, b≧0 かつ a +b+1 ≧0 であることを示せ.
1995-11262-0103
【3】 xyz 空間で平面 x +y+z =2 を α とし, 4 点 P1 ( 43 , 43 , 43 ) ,P 2( 53 , 53 , 85 ) ,P 3( 83 ,- 13 , 23 ) ,P 4( 23 , 23 , 53 ) と α に関して対称な点を Q1 , Q 2 , Q3 , Q4 とする.
(1) Q 1 ,Q 2 の座標はそれぞれ ( 0,0, 0) ,( -1,- 1,0 ) であることを示せ.また Q3 , Q 4 の座標を求めよ.
(2) 4 点 P1 , P 2 , P3 , P4 を頂点とする四面体の体積を求めよ.
(注) 2 点 P ( a,b, c) ,Q ( a′,b ′,c′ ) に対し線分 PQ が α と直交し, PQ の中点が α 上にあるときに Q を α に関して P と対称な点という.
1995-11262-0104
【4】 放物線 y =x2 +2 を C とする. C の下側にある点 P から C に引いた 2 本の接線と C とで囲まれる図形の面積を S とする.
(1) 2 つの接点を Q ,R とし, Q の x 座標を α , R の x 座標を β (ただし α <β )とする. S を α , β を用いて表せ.
(2) P が原点 ( 0,0 ) と点 ( 1,1 ) を結ぶ線分 l 上を動くときの S の最大値,最小値を求めよ.
1995-11262-0105
理・工学部
【1】 関数
f⁡( x)= ∫ 13 {| 1- xt |+1 }⁢d t
の 1 ≦x≦3 での最大値,最小値を求めよ.
1995-11262-0106
【2】 線分 AB を 1 対 2 に内分する点を O とする. O を中心とし, A を通る半円上に点 P をとる.ただし, P は線分 AB 上にないものとする.点 P と点 B を通る直線が A を通り AB に垂直な直線と交わる点を Q とする.弧 AP ⏜ の長さは線分 AQ の長さより大きいことを示せ.
1995-11262-0107
【3】(1) xy 平面上の点 P ( a,b ) から放物線 y =x2 に接線を 2 本引く. 2 つの接点を結んでできる直線 l の方程式を求めよ.
(2) 直線 l 上に点 Q ( a,b ) を a2> b となるようにとり,点 Q から放物線 y =x2 に接線を 2 本引く. 2 つの接点を結んでできる直線 m は点 P を通ることを示せ.
1995-11262-0108
【4】 xyz 空間で球面 ( x- 12 )2 +( y- 12 )2 +z2 =25 を S とし, S の内部に点 P ( a,b, c) をとる.ただし, P は S 上にはなく,球の中心 ( 1 2 , 1 2, 0) と異なるものとする.
(1) 点 P を固定し,点 Q が S 上を動くときの P ,Q 間の距離の最小値を d ⁡( P ) とする. d⁡( P ) を a , b ,c を用いて表せ.
(2) 平面 z =1 上の中心 A ( 1,1, 1) , 半径 12 の円を C とする.点 P が C 上を動くときの d ⁡( P ) の最大値,最小値を求めよ.
1995-11262-0109
理学部数学科
【5】 半径 2 の円の内部に 1 辺の長さ 1 の正方形 ABCD がある.ただし,頂点は円周上にあってもよいものとする.円周上に定点 O をとり, l=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2 を考える.
(1) 正方形 ABCD の 2 つの対角線 AC , BD の交点を M とする. l を OM で表せ.
(2) 正方形 ABCD が円の内部を動くとき, l の最大値,最小値を求めよ.
1995-11262-0110
【6】(1) 関数 a ⁡(x ), b⁡( x) は第 2 次導関数 a ″⁡( x) ,b ″⁡( x) をもち, a″⁡ (x) ⁢b⁡ (x )=b ″⁡( x)⁢ a⁡( x) を満たすものとする.また, b⁡( x)≠ 0 とする. f⁡( x)= a⁡( x) b⁡( x) とおくとき,
(☆) b⁡( x)⁢ f″ ⁡( x)+ 2⁢b′ ⁡(x )⁢f ′⁡( x)= 0
(2) (☆)を満たす関数 f ⁡( x) は, f⁡( x)= k1⁢ ∫ 0x 1 b⁡( y)2 ⁢ dy +k2 と表せることを示せ.ただし, k1 , k2 は定数である.
(3) 微分方程式 a ″⁡( x)+ cos ⁡x2 +cos⁡x ⁢ a⁡ (x) =0 の解で, a⁡( x)= a⁡( x+2⁢ π) ,a⁡ (0) =1 を満たすものを求めよ.
1995-11262-0111
【7】 変数 x と自然数 n に対し, fn =xn + 1xn とおく.また, t=x+ 1 x とする.
(1) n≧2 のとき, fn+ 1= fn⁢t -fn -1 であることを示せ.さらに数学的帰納法を用いて, fn は t の整数係数の n 次多項式であることを示せ.
以下, fn の t n-k の係数を An⁡ (k ) と書く:
fn= An⁡ (0 )⁢t n+A n⁡( 1)⁢ tn-1 +⋯+ An⁡ (n-1 )⁢t +An ⁡(n )
(2) k が奇数のとき, An ⁡(k )= 0 となることを示せ.
(3) n が偶数のとき, An ⁡(n )= -1) n2 ⁢2 となることを示せ.
(注) g が t の整数係数の n 次多項式であるとは, g=a 0⁢t n+a 1⁢t n-1 +⋯+ an- 1⁢t +an と表せることである.ただし, a0 , a1 , ⋯ ,a n-1 , an は整数で, a0 ≠0 である.