1995　横浜市立大　A日程文理（理），医学部MathJax

【１】　座標空間において，$1$つの定点$\mathrm{A}(2,1)$と$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(p,0)\text{，}y$軸上を動く点$\mathrm{Q}(0,q)$を考える．ただし，$q\geqq 0$とする．

(1)　三角形$\mathrm{APQ}$の重心$\mathrm{G}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が条件$\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(3)　$\mathrm{G}$の軌跡と$y$軸および$2$直線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}y=1$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，双曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上の点$(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OQ}$の長さの和が整数になるような正の有理数$a$の値をすべて求めよ．

【３】　底面の半径が$1$の直円すい$C$に球$S$が内接しているとする．ただし，$S$が$C$に内接しているというのは，$C$の底面に接しかつ$C$の側面との共通部分が円周になっているときをいう．$S$の表面積を$a\text{，}C$の側面の面積を$b$とする．$S$の半径を変えたとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}$の最大値を求めよ．

【４】　座標平面において，原点を通り$x$軸の正の方向とのなす角が$\theta$であるような直線を$l(\theta )$で表す．

(1)　平面上の点を$l(\theta )$に関して対称な点に移す$1$次変換を表す行列$T(\theta )$を求めよ．

(2)　行列$T(\alpha )\text{，}T(\beta )$の積$T(\alpha )T(\beta )$が表す$1$次変換は角$2(\beta -\alpha )$の回転であることを示せ．

(3)　点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$は$(0,1)$とし，次のようにして点$\mathrm{P}(x_n,y_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を定める．直線$l\left({\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}\right)$に関して点${\mathrm{P}}_{n-1}$と対称な点を${\mathrm{P}}_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}$を求めよ．

【５】　袋の中に$n$個（$n\geqq 4$）の球が入っている．このうち$3$個は赤球で，残りの$(n-3)$個は白球である．この袋から$1$個ずつ球を取出す試行を考える．ただし，取出した球は元へ戻さない．赤球を$3$個取り出したら，そこで試行は終わるものとする．試行が終わるまでに取り出した球の総数を表す確率変数を$X$とし，$X=k$となる確率を$p_k$とする．

(1)　$p_3\text{，}{p}_4$を求めよ．

(2)　$p_k$を求めよ．

(3)　$X$の期待値を求めよ．