1995　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　$f(x)=x^4+2x^3-x^2$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$における接線が，この曲線と接点以外の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとする．

(1)　$a$の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$が線分$\mathrm{PQ}$上にあるような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}$を満たす点とし，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\mathrm{OE}$が$\mathrm{AD}$に垂直であることを示せ．

【３】　$f(x)=x^3-a{x}^2-a^{2}x+b$とし，$y=f(x)$の極値を与える$x$の値を$\alpha \text{，}\beta$とする．$f(x)$が次の$2$つの条件を満たすとき，$a$と$b$を求めよ．

$\text{①}$　$a\text{，}b$は自然数，かつ$b<100$である．

$\text{②}$　$2$点$(\alpha ,f(\alpha )\text{，}(\beta ,f(\beta )$の中点が$x$軸上にある．

【４】　放物線$y=a{x}^2+bx+c\text{（}a>0\text{）}$が$2$点$(1,2)\text{，}(-1,-2)$を通るとき，この放物線と$x$軸で囲まれた部分の面積の最小値，およびそのときの$a$の値を求めよ．

【５】　$1<a<3$のとき，平面$(a-3)x+2\sqrt{2}(a-3)y-(a-1)z=a^2-4a+3$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．

f(1)　原点$\mathrm{O}$とこの平面との距離を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

【６】　箱の中に$10$個のボールが入っており，そのおのおのには$-2\text{，}-1\text{，}1\text{，}2$の数字のいずれか$1$つが書かれている．$-2$と書かれたボールは$1$個，$-1$は$2$個，$1$は$3$個，$2$は,$4$個である．この箱から無作為に同時に$2$個のボールをとり出し，それぞれのボールに書かれた数字の和を$S$とする．

(1)　$S=0$となる確率を求めよ．

(2)　$S$の期待値を求めよ．

(3)　$S=0$であったとき，残り$8$個のボールが入った箱から無作為に$2$個を同時にとり出す．このときとり出された$2$個のボールに書かれた数字の和が$0$となる条件つき確率を求めよ．