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1995-11491-0201
1995 名古屋市立大 B日程
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 3 つの線分 y =0 ( 0≦x≦ 2 ),y =2⁢x -4 ( 2≦x≦ 4 ),y =4 ( 2≦x≦ 4 ) と曲線 y =4⁢x -x2 ( 0≦x≦ 2 ) で囲まれた部分を F とする.図のように 4 点 A ( t,4) ,B (t ,0) ,C (t +1,0 ), および D (t +1,4 ) (ただし 0 ≦t≦3 )で定まる長方形 ABCD と F とが重なる部分の面積を S とするとき, S を最大にする t の値を求めよ.
1995-11491-0202
医学部【2】の類題.医学部【2】(1),(3)と同じ
【2】 2 つの実数 a と b に対して, max⁡{ a,b } を a と b の小さくない方の値, min⁡{ a,b } を a と b の大きくない方の値とする.
このとき,平面上の点 P1 ( x1, y1 ) に対して P2 ( x2, y2 ) を
x2 =max⁡ {x1 ,y1 } ,y 2=min⁡ {x1 ,2⁢ y1 }
により定める.以下順に n =3 ,4 , に対して Pn ( xn, yn } を
xn= max⁡{ xn- 1, yn-1 } ,y n=min⁡ {x n-1 ,2⁢y n-1 }
により定める.
(1) P1 が ( 1,5 ) であるとき, Pn の座標を求めよ.
(2) P1 ( x1, y1 ) と P2 ( x2, y2 ) とが一致するような平面上の点 P1 ( x1, y1 ) の全体を求め,図示せよ.
1995-11491-0203
【3】,【4】から選択
【3】 1 辺の長さが a である正三角形 ABC において重心 O を通る直線 l が辺 AB , 辺 AC とそれぞれ点 P ,Q で交わるものとし, OP=p , OQ= q とおく.
(1) 1 p2 -1 p⁢q + 1q2 = 9a2 を示せ.
(2) p⁢q の最小値を求めよ.
1995-11491-0204
【4】 放物線 C1: y=x2 と x 軸に平行な直線 l :y=a ( a>1 ) とで囲まれる図形の面積を S とする.この図形に含まれ放物線 C 1 と直線 l とに内接し,中心が y 軸上にある円を C 2 とする.
(1) S の値を求めよ.
(2) 円 C 2 の方程式を求めよ.
(3) 円 C 2 の面積を T とする. T S の最大値を求めよ.
1995-11491-0205
【5】,【6】から選択
【5】 正三角形 BCD を底面とし, AB=AC =AD となる三角錐 ABCD において,底面と側面とのなす角を θ とする.各側面の面積 S を一定に保ちながら,三角錐を変形させるとき,三角錐の底面の重心から側面までの距離が最大となる場合の tan ⁡θ を求めよ.
1995-11491-0206
医学部【4】の類題
【6】 甲と乙 2 人がコインを 3 枚ずつ持って,次のゲームをする.
2 人が手持ちのコインを 1 枚ずつ投げ, 2 枚とも表なら 2 枚とも甲の所有とし, 2 枚とも裏なら 2 枚とも乙の所有とする.ただし,表と裏が 1 枚ずつなら用意された箱の中に 2 枚のコインを入れるものとする.このゲームを繰り返し,所持するコインがなくなったときゲームが終わる.
(1) 3 回後に甲の所持するコインの枚数が 3 枚より多くなる確率を求めよ.
(2) ゲームが 5 回以内で終わる確率を求めよ.
(3) ゲームを 2 回繰り返したとき,甲の所持するコインの枚数の期待値を求めよ.
1995-11491-0207
医学部
【1】 正数 a に対して y =x⁢( x-a) ⁢( x-2⁢ a)2 で定まる曲線を C a とする.
(1) 点 ( 1,-1 ) を通る曲線 C a がただ 1 つあることを示せ.
(2) 点 ( p,q ) を通る曲線 C a がただ 1 つであるような ( p,q ) の範囲を図示せよ.ただし, p>0 とする.
1995-11491-0208
経済学部【2】の類題.経済学部は(2)を省く
(2) P1 が ( -1,2 ) であるとき, Pn の座標を求めよ.
(3) P1 ( x1, y1 ) と P2 ( x2, y2 ) とが一致するような平面上の点 P1 ( x1, y1 ) の全体を求め,図示せよ.
1995-11491-0209
【3】 曲線 C :y= x⁢e -x 上の点 P ( a,a⁢ e-a ) を考える.
(1) x≧0 の範囲において,曲線 C のグラフの概形を描け.ただし, limx →∞ x⁢e -x =0 である.
(2) 0≦a ≦2 のとき,点 P における接線,曲線 C および y 軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) a≧0 のとき,点 P における接線,直線 y =a⁢ e-a および y 軸とで囲まれた三角形の面積を最大にする a を求めよ.
1995-11491-0210
経済学部【6】の類題
【4】 甲と乙 2 人がコインを 10 枚ずつ持って,次のゲームをする.
(1) 5 回後に甲の所持するコインの枚数が 10 枚より多くなる確率を求めよ.
(2) ゲームが 12 回以内で終わる確率を求めよ.
(3) ゲームを 5 回繰り返したとき,甲の所持するコインの枚数の期待値を求めよ.