1995　名古屋市立大　B日程経済，医学部MathJax

【１】　$3$つの線分$y=0\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{），}y=2x-4\text{（}2\leqq x\leqq 4\text{），}y=4\text{（}2\leqq x\leqq 4\text{）}$と曲線$y=4x-x^2\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$で囲まれた部分を$F$とする．図のように$4$点$\mathrm{A}(t,4)\text{，}\mathrm{B}(t,0)\text{，}\mathrm{C}(t+1,0)\text{，}$および$\mathrm{D}(t+1,4)$（ただし$0\leqq t\leqq 3$）で定まる長方形$\mathrm{ABCD}$と$F$とが重なる部分の面積を$S$とするとき，$S$を最大にする$t$の値を求めよ．

【２】　$2$つの実数$a$と$b$に対して，$\max \{a,b\}$を$a$と$b$の小さくない方の値，$\min \{a,b\}$を$a$と$b$の大きくない方の値とする．

　このとき，平面上の点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$に対して${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$を

$x_2=\max \{x_1,y_1\}\text{，}{y}_2=\min \{x_1,2y_1\}$

により定める．以下順に$n=3\text{，}4\text{，}$に対して${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n\}$を

$x_n=\max \{x_{n-1},y_{n-1}\}\text{，}{y}_n=\min \{x_{n-1},2y_{n-1}\}$

により定める．

(1)　${\mathrm{P}}_1$が$(1,5)$であるとき，${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$と${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とが一致するような平面上の点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$の全体を求め，図示せよ．

【３】　$1$辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{ABC}$において重心$\mathrm{O}$を通る直線$l$が辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$とそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるものとし，$\mathrm{OP}=p\text{，}\mathrm{OQ}=q$とおく．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{p^2}}-{\displaystyle \frac{1}{pq}}+{\displaystyle \frac{1}{q^2}}={\displaystyle \frac{9}{a^2}}$を示せ．

(2)　$pq$の最小値を求めよ．

【４】　放物線$C_1\text{：}y=x^2$と$x$軸に平行な直線$l\text{：}y=a\text{（}a>1\text{）}$とで囲まれる図形の面積を$S$とする．この図形に含まれ放物線$C_1$と直線$l$とに内接し，中心が$y$軸上にある円を$C_2$とする．

(1)　$S$の値を求めよ．

(2)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(3)　円$C_2$の面積を$T$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$の最大値を求めよ．

【５】　正三角形$\mathrm{BCD}$を底面とし，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$となる三角錐$\mathrm{ABCD}$において，底面と側面とのなす角を$\theta$とする．各側面の面積$S$を一定に保ちながら，三角錐を変形させるとき，三角錐の底面の重心から側面までの距離が最大となる場合の$\tan \theta$を求めよ．

【６】　甲と乙$2$人がコインを$3$枚ずつ持って，次のゲームをする．

　$2$人が手持ちのコインを$1$枚ずつ投げ，$2$枚とも表なら$2$枚とも甲の所有とし，$2$枚とも裏なら$2$枚とも乙の所有とする．ただし，表と裏が$1$枚ずつなら用意された箱の中に$2$枚のコインを入れるものとする．このゲームを繰り返し，所持するコインがなくなったときゲームが終わる．

(1)　$3$回後に甲の所持するコインの枚数が$3$枚より多くなる確率を求めよ．

(2)　ゲームが$5$回以内で終わる確率を求めよ．

(3)　ゲームを$2$回繰り返したとき，甲の所持するコインの枚数の期待値を求めよ．

【１】　正数$a$に対して$y=x(x-a){(x-2a)}^2$で定まる曲線を$C_a$とする．

(1)　点$(1,-1)$を通る曲線$C_a$がただ$1$つあることを示せ．

(2)　点$(p,q)$を通る曲線$C_a$がただ$1$つであるような$(p,q)$の範囲を図示せよ．ただし，$p>0$とする．

【２】　$2$つの実数$a$と$b$に対して，$\max \{a,b\}$を$a$と$b$の小さくない方の値，$\min \{a,b\}$を$a$と$b$の大きくない方の値とする．

　このとき，平面上の点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$に対して${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$を

$x_2=\max \{x_1,y_1\}\text{，}{y}_2=\min \{x_1,2y_1\}$

により定める．以下順に$n=3\text{，}4\text{，}$に対して${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n\}$を

$x_n=\max \{x_{n-1},y_{n-1}\}\text{，}{y}_n=\min \{x_{n-1},2y_{n-1}\}$

により定める．

(1)　${\mathrm{P}}_1$が$(1,5)$であるとき，${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1$が$(-1,2)$であるとき，${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$と${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とが一致するような平面上の点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$の全体を求め，図示せよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x{e}^{-x}$上の点$\mathrm{P}(a,a{e}^{-a})$を考える．

(1)　$x\geqq 0$の範囲において，曲線$C$のグラフの概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$である．

(2)　$0\leqq a\leqq 2$のとき，点$\mathrm{P}$における接線，曲線$C$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　$a\geqq 0$のとき，点$\mathrm{P}$における接線，直線$y=a{e}^{-a}$および$y$軸とで囲まれた三角形の面積を最大にする$a$を求めよ．

【４】　甲と乙$2$人がコインを$10$枚ずつ持って，次のゲームをする．

　$2$人が手持ちのコインを$1$枚ずつ投げ，$2$枚とも表なら$2$枚とも甲の所有とし，$2$枚とも裏なら$2$枚とも乙の所有とする．ただし，表と裏が$1$枚ずつなら用意された箱の中に$2$枚のコインを入れるものとする．このゲームを繰り返し，所持するコインがなくなったときゲームが終わる．

(1)　$5$回後に甲の所持するコインの枚数が$10$枚より多くなる確率を求めよ．

(2)　ゲームが$12$回以内で終わる確率を求めよ．

(3)　ゲームを$5$回繰り返したとき，甲の所持するコインの枚数の期待値を求めよ．