1995　大阪市立大学　A・前期MathJax

【１】　連続した$4$つの正の整数の積は$24$で割り切れることを示せ．

【２】　定数$c$に対し，放物線$y=x^2+c$と直線$y=x$が，異なる$2$点$(\alpha ,\alpha )\text{，}(\beta ,\beta )$で交わっているものとする．ただし，$\alpha <\beta$とする．次の問に答えよ．

問１　$|\alpha |<\beta$となることを示せ．

問２　$c<-\beta$を満たす$c$の範囲を求めよ．

【３】　座標平面において，直線$y=2x$を$l$とする．行列$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．直線$l$上にない点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$の$f$による像を${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とする．点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$と直線$l$との距離をそれぞれ$d_1\text{，}{d}_2$とするとき，$d_1>d_2$となることを示せ．

【４】　$xyz$空間において，点$(r,0,0)$を通り$z$軸に平行な直線を，$z$軸のまわりに回転してできる曲面（円柱）を$A$とする．ただし，定数$r$は$0<r<1$とする．曲面$A$および$2$つの平面$z=(1-r)x$と$z=0$とで囲まれる立体のうち，$z\geqq 0$の部分を$B$とする．次の問いに答えよ．

問１　立体$B$を平面$y=t\text{（}-r\leqq t\leqq r\text{）}$で切った切り口の面積$S(t)$を求めよ．

問２　立体$B$の体積

$V(r)={\displaystyle {\int }_{-r}^r}S(t)dt$

を求めよ．

問３　$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，体積$V(r)$の最大値を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,f(a))$で$C$と接する直線$y=g(x)$を$l$とする．次の問に答えよ．

問１　$f(x)-g(x)$を${(x-a)}^2$で割った商を求めよ．

問２　接線$l$が，さらに$\mathrm{P}$以外の，異なる$2$点で$C$と交わるような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$xyz$空間の$2$つの球面

$S_1:x^2+y^2+z^2=5$

$S_2:{(x-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{8}{3}})}^2+{(z-{\displaystyle \frac{8}{3}})}^2=5$

を考える．次の問に答えよ．

問１　球面$S_1$と$S_2$が交わってできる円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

問２　円$C$を含む平面$\alpha$の方程式を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}(0,-2,4)$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

問４　点$\mathrm{A}$が円$C$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

【３】　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=e(x-1)-{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)f^{\prime }(t)dt+{\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)dt$

ただし，$e$は自然対数の底である．

【４】　袋の中に赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている．袋に戻さずに玉を$1$個ずつ取り出す試行を考える．取り出された玉のうちで，白玉の個数が赤玉の個数より多いときは試行を中止し，そうでないときは袋の中に玉があるかぎり試行を続けるものとする．次の問に答えよ．

問１　玉を$3$個取り出した時点で試行が終わる確率を求めよ．

問２　玉を$5$個取り出した時点で試行が終わる確率を求めよ．

問３　玉を$10$個すべて取り出すまでに試行が続く確率を求めよ．