1995 大阪府立大学 A・前期

Mathematics

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1995 大阪府立大学 A・前期

農 ,経済,総合科学学部

易□ 並□ 難□

【1】  A=( 2 3 12 ) に対して

( xn yn ) =An ( 1 0 ) n=1 2 3

とする.次の問に答えよ.

(1)  xn yn を求めよ.

(2)  a=2+ 3 b=2 -3 とおく. an bn xn yn を用いて表せ.また,点 P 1( x1 ,y1 ) P2 ( x2, y2 ) P3 ( x3, y3 ) P n( xn ,yn ) はすべて同じ曲線上にある. ab =1 が成り立つことを利用して,その曲線の方程式を求めよ.

1995 大阪府立大学 A・前期

農 ,総合科学学部

農50点,経済30点,総合科学75点

易□ 並□ 難□

【2】 平面上を動く点 P の時刻 t における座標は (x (t),y (t) ) で,速度ベクトルはベクトル (x (t), y(t )) 90 ° 回転したベクトルに,ベクトル ( e2 t-2 t,2 e2 t- t2- t) を加えたものとする.次の問に答えよ.ただし,回転は原点を中心に反時計まわりに行う.

(1)  x (t) x (t) t の多項式を用いて表せ.

(2)  x(t ) が連続関数 f (t) を用いて次の式で表されるとする.

x(t )= 0 t sin(t -s) f(s )ds

このとき, f(t ) を求めよ.また, x(π ) の値を計算せよ.

1995 大阪府立大学 A・前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x)= x3- 2x 2+1 について,次の問に答えよ.

(1)  f(x ) の極値とその極値を与える x の値を求めよ.

(2)  y=f (x) x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

1995 大阪府立大学 A・前期

農,総合科学部

経済学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 曲線 C1 :y= x4+ ax 2+b x+12 と曲線 C 2:y =2 x3-( a+1) x2 +c x+c2 が異なる 2 点で接する.このとき,次の問に答えよ.ただし, a b c は実数とする.

(1)  b a で表せ.また, a の範囲も答えよ.

(2)  a の値を変えるとき,点 (a, b) が描く曲線を図示し,さらに,この曲線と座標軸との交点の座標および b の範囲も答えよ.

1995 大阪府立大学 A・前期

経済学部

農,総合科学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 曲線 C1 :y= x4+ ax2 +b x+12 と曲線 C 2:y= 2x3 -(a+ 1) x2+c x+c 2 が異なる 2 点で接する.このとき, b a で表せ.また, a の範囲を答えよ.ただし, a b c は実数とする.

1995 大阪府立大学 A・前期

農,経済学部

易□ 並□ 難□

【4】 空間において,直線 x= z-1= 0 と直角に交わり,球 x 2+y 2+ (z-2) 2=1 に接する直線のうち xy 平面と交わるものを考える.これらの直線と xy 平面の交点が描く図形の方程式を求めよ.

1995 大阪府立大学 A・前期

総合科学学部

易□ 並□ 難□

【4】  n を正の整数とする.赤玉 1 個,白玉 n 個の入った箱がある. A B の二人はこの順で,次のルールでどちらかが赤玉を取り出すまで交互に 1 個ずつ玉を取り出すものとする.

・玉を取り出す前に,毎回箱の中をよくかき混ぜる.

A が取り出した玉は箱に戻さない.

B が取り出した玉は箱に戻す.

 このとき,次の問に答えよ.

(1)  k を正の整数とする.ちょうど k 巡目に A が赤玉を取り出す確率 pk B が赤玉を取り出す確率 qk を求めよ.ただし, A が玉を取り出し,続いて B が玉を取り出すことを 1 巡と数える.

(2) どちらかが赤玉を取り出すまでに A が取り出した白玉の個数の期待値を求めよ.