1995　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　曲線$y=f(x)$が次の媒介変数表示をもつものとする．

$\{\begin{array}{l}x=t^3+1\\ y=-t^2+t\end{array}\text{（}-\infty <t<\infty \text{）}$

このとき，$y=f(x)$は点$(0,\boxed{\text{(ア)}})$を通り，$x=\boxed{\text{(イ)}}$で最大値$\boxed{\text{(ウ)}}$をとり，区間$\boxed{\text{(エ)}}<x<\boxed{\text{(オ)}}$で上に凸である．

　また，領域$\{(x,y)|0\leqq y\leqq f(x)\}$の面積は$\boxed{\text{(カ)}}$である．

【２】　曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,e^t)\text{（}t\geqq 0\text{）}$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{A}(0,1)$と点$\mathrm{P}$との間の曲線の長さを$\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$で表す．関数$g(t)=\overline{\mathrm{PQ}}-\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}$を考える．$g(t)$は

$g(t)=\boxed{\text{(キ)}}-{\displaystyle {\int }_0^t}\boxed{\text{(ク)}}dx$

で表される．これを$t$で微分すると

$g^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{e^{-t}}{\boxed{\text{(ケ)}}}}$

となる．置換積分法により

$g(t)=g(0)-{\displaystyle {\int }_a^1}{\displaystyle \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}}\text{，}$ただし$a=\boxed{\text{(コ)}}$

が得られる．$v=\sqrt{1+u^2}-u$とおき置換積分法を用いると

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}}=-\boxed{\text{(サ)}}+C$（$C$は積分定数）

が成り立つ．したがって，$g(t)$は極限値

$\underset{t\to \infty }{\lim }g(t)=\boxed{\text{(シ)}}$

をもつ．

【３】　表と裏のあるカード$n$枚すべてを裏向きに横一列に並べる．まず，その中の$1$枚を選んで表に返す．列の両端以外のカードを選んだときには，表向きにしたカードにより，残りのカードが左側と右側の$2$組に分かれる（図の第$1$段の操作）．端のカードを選んだときは組の数は増えない．この操作を，分かれたそれぞれの組に対して同じように繰り返す．$n=10$の場合に，（ を表向きになったカードとして）以上の操作を行なった一例を次の図に示す．

　一般に第$k$段までの操作の結果，最大で$\boxed{\text{(ス)}}$枚のカードが表となる．したがって，$n$枚のカードをすべて表にするためには，最大$\boxed{\text{(セ)}}$段，最小で$k_0$段，ただし$k_0-1<\boxed{\text{(ソ)}}\leqq k_0$の操作が必要である．また，各組のカードを選ぶとき，常に等確率で選ぶとすれば，この最大の段数が必要となる確率は$\boxed{\text{(タ)}}$である．

【４】　不等式

$n!+n\geqq 2^n\text{，}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$

を証明せよ．

【５】　空間に$3$直線

$l_1:x=-y=1$

$l_2:y=-z=1$

$l_3:z=-x=1$

がある．直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$のいずれとも交わるような直線のすべてを考える．このような直線は必ず$xy$平面と交わるので，その交点の座標を$(X,Y,0)$とする．$X\text{，}Y$が満たす関係式を求めよ．