1995　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　座標平面上に点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$がある．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$

による一次変換で点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$に移るとする．変数$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は

$\boxed{\text{ア}}\leqq y\leqq \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$

の範囲を動く．さらに$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲でベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が直角となるのは

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$

のときである．

【２】　関数$f(x)$を，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

と定める．ただし関数$f(x)$は恒等的には$0$にならない．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとする．

このとき$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}\text{，}d=\boxed{\text{ケ}}$が成立し，さらに$p=-1\text{，}c=2$のとき，$q=\boxed{\text{コ}}\text{，}r=\boxed{\text{サ}}\text{，}s=\boxed{\text{シ}}$が成立する．

【３】(1)　$a$を実数とする．$2$つの不等式

$4\leqq x+a<5\text{，}12\leqq x+3a<13$

を同時に満たす$x$が存在するための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

(2)　$y$は正の実数とする．適当な正の実数$b$をとると，$by$と$b{y}^3$の整数部分はそれぞれ$5$けた，$13$けたになる．このような$y$の範囲を

${10}^p<y<{10}^q$

とすると

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

が成立する．

【４】　実数$a$と， 円

$S_a:x^2+y^2+2ax-4ay+20a-25=0$

を考えよう．

(1)　$a$の値にかかわらず$S_a$が通る$2$点の座標は$\boxed{\text{あ}}$と$\boxed{\text{い}}$である．

(2)　$a$が動くとき$S_a$の中心が描く直線の方程式は$\boxed{\text{う}}$である．

(3)　円$x^2+y^2=1$と$S_a$が接するときの$a$の値は$\boxed{\text{え}}$と$\boxed{\text{お}}$であり，それぞれに対応する接点の座標は$\boxed{\text{か}}$と$\boxed{\text{き}}$である．

【５】　座標空間中に正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$は$xy$平面上にあり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$\mathrm{A}(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}\mathrm{B}(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$とする．$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$は原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{C}$を結ぶ線分上にある．さらに$\mathrm{D}$の$z$座標は正である．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$\boxed{\text{く}}$である．

(2)　平面$z=a$と正四面体$\mathrm{ABCD}$が交わる$a$の範囲は$\boxed{\text{け}}$である．

(3)　$a$が(2)の範囲にあるとき，平面$z=a$と$z$軸，$\mathrm{DM}\text{，}\mathrm{DC}$との交点をそれぞれ${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{M}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．このとき，$a$を用いると線分${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{M}}^{\prime }$と線分${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の長さはそれぞれ${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{M}}^{\prime }=\boxed{\text{こ}}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }=\boxed{\text{さ}}$と表される．

【６】　$k$を正の実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-3kx$

と定める．正の実数$a$に対して，変数$x$が$-a\leqq x\leqq a$の範囲を動くときの$f(x)$の最大値を$T(a)$とする．この$T(a)$を求め，$y=T(a)$のグラフを描け．