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1995 慶応義塾大学 総合政策学部

易□ 並□ 難□

【1】  には選択肢から最も適する番号を選び, には数値を入れなさい.

 つぎのような 2 つの条件(A),(B)がある.

(A)  (x, y) x 2+y 2-4 x-2 ky+k 2+3 0 を満たす.

(B)  (x, y) 2 x-y- 1<0 を満たす.

(A)が(B)であるための 条件になるのは k のときである.

 1. 必要 2. 十分 3. 必要十分

 1.  < 2.  3.  = 4.  5.  >

 1.  + 2.  - 3.  ±

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【2】(a) 平行四辺形 ABCD がある.点 E A を時刻 0 に出発し, AB 上を等速運動して時刻 t 1 B に到着する.点 F B を時刻 0 に出発し, BC 上を等速運動して時刻 t 2 C に到着する.点 G は線分 DE 2 :1 に内分する点であり,点 H は線分 AF の中点である. G H が途中で一致するとすると,

t 1t2 =

が成り立ち,一致する時刻は

t1

である.

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【2】(b) 直線 l 1:x- y=1 は一次変換 f によって直線 l 2:3 x+y= 2 に移る.また, l2 f によって直線 l3:x +3y =4 に移る.このとき, f を表す行列は

( )

であり,直線 x- y=-1 f によって,直線 x+ y= に移る.

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【3】 数直線 l 上に動点 P Q がある.出発は同時であり,出発点は,それぞれ座標が 0 a 2 O A である.ただし, a>0 とする.また,出発後の時刻 t における速度は P 15 Q 3 (t -2) (8 -t) である.

(ⅰ)  P Q が相異なる 3 つの地点で一緒になるのは,

<a<

のときであり, 1 回目と 3 回目に一緒になる時刻 t 1 t3 は,

<t1 < <t3 <

を満たす.

(ⅱ) (ⅰ)の場合で, Q P に出会い,追いつき,また出会うのは,

<a

のときである.

 また, a=65 のとき, Q t= P に追いつき, t= ± P と出会う.

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【4】 ある店で,つぎの材料 X Y を用いてクッキーとケーキを作っている.

{ 材料 X バター16 kg とマーガリン 8a kg を混ぜたもの 材料 Y 砂糖 24kg

ただし, a 0 a8 を満たす整数とする.

 クッキーを 1 ケース作るには材料 X 2 kg と材料 Y 3 kg 必要であり,その利益は 6 千円である.一方,ケーキを 1 ケース作るには材料 X 4 kg と材料 Y 2 kg 必要であり,その利益はマーガリンの量によって代わり, (8 -a) 千円になる. a を一定にしたときの総利益の最大値は,

0a < のとき ( a2+ a+ ) 千円

a 8 のとき ( a2+ a+ ) 千円

となる.したがって総利益を最大にするためには a= とし,クッキーを ケース,ケーキを ケース作ればよい.

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【5】 座標空間において,直線

g: x-1 3= y +24 =t (z- 1) t>0

上の点と z 軸上の点との最短距離は であって,これは g 上の点

A( , , + t )

z 軸上の点

B (0, 0, + t)

との距離である.

  g に含まれ, 0z 3 の範囲にある線分を z 軸のまわりに回転してできる曲面と平面 z =0 z= 3 で囲まれた部分の体積 V は,

V=( t 2+ t+ ) π

であり,これは t= のとき最小値 π をとる.

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【6】 座標平面の第 1 象限にある 2 本の半直線を,

l:y=a x g:y =bx x 0 0<a <b

とする.

 g 上に点 A 1 をとり, A1 から l に下ろした垂線の足を A 2 A 2 から g に下ろした垂線の足を A3 A 3 から l に下ろした垂線の足を A4 以下同様に g 上に点 A5 A 7 l 上に点 A6 A 8 をとる.

{ A 1A 2+A 2A 3+A 3A 1=12 三角形 A1 A2 A3 の面積 =6 A2 A3 >A 3A 1

が成り立つとき,つぎの問に答えなさい.

(ⅰ)  a b の間には

ab+ a+ b+ 3=0

の関係がある. a b 共に自然数のときは, a= b= であり,このときの A1 A 2 x 座標 x1 x2 は, x1 = x2 = である.

(ⅱ)  A1 A2 +A 2A 3+ +A nA n+1 >20 をみたす最小の自然数 n は, n= である.必要なら, log10 2=0.3010 を用いてよい.

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