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1995-13338-0401
1995 慶応義塾大学 総合政策学部
易□ 並□ 難□
【1】 ア , イ , エ には選択肢から最も適する番号を選び, ウ , オ には数値を入れなさい.
つぎのような 2 つの条件(A),(B)がある.
(A) (x, y) は x 2+y 2-4⁢ x-2⁢ ky+k 2+3 ≦0 を満たす.
(B) (x, y) は 2⁢ x-y- 1<0 を満たす.
(A)が(B)であるための ア 条件になるのは k イ ウ エ ⁢ オ のときである.
ア 1. 必要 2. 十分 3. 必要十分
イ 1. < 2. ≦ 3. = 4. ≧ 5. >
エ 1. + 2. - 3. ±
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【2】(a) 平行四辺形 ABCD がある.点 E は A を時刻 0 に出発し, AB 上を等速運動して時刻 t 1 に B に到着する.点 F は B を時刻 0 に出発し, BC 上を等速運動して時刻 t 2 に C に到着する.点 G は線分 DE を 2 :1 に内分する点であり,点 H は線分 AF の中点である. G と H が途中で一致するとすると,
t 1t2 = ア イ
が成り立ち,一致する時刻は
ウ エ ⁢ t1
である.
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【2】(b) 直線 l 1:x- y=1 は一次変換 f によって直線 l 2:3⁢ x+y= 2 に移る.また, l2 は f によって直線 l3:x +3⁢y =4 に移る.このとき, f を表す行列は
( オ カ キ ク )
であり,直線 x- y=-1 は f によって,直線 ケ ⁢ x+ y= コ に移る.
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【3】 数直線 l 上に動点 P , Q がある.出発は同時であり,出発点は,それぞれ座標が 0 , a の 2 点 O , A である.ただし, a>0 とする.また,出発後の時刻 t における速度は P が 15 , Q が 3 ⁢(t -2) ⁢(8 -t) である.
(ⅰ) P ,Q が相異なる 3 つの地点で一緒になるのは,
ア <a< イ
のときであり, 1 回目と 3 回目に一緒になる時刻 t 1 ,t3 は,
ウ <t1 < エ , オ <t3 < カ
を満たす.
(ⅱ) (ⅰ)の場合で, Q が P に出会い,追いつき,また出会うのは,
キ <a≦ ク
のときである.
また, a=65 のとき, Q は t= ケ で P に追いつき, t= コ ± サ ⁢ シ で P と出会う.
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【4】 ある店で,つぎの材料 X , Y を用いてクッキーとケーキを作っている.
{ 材料 X バター16 kg とマーガリン 8⁢a kg を混ぜたもの 材料 Y 砂糖 24kg
ただし, a は 0≦ a≦8 を満たす整数とする.
クッキーを 1 ケース作るには材料 X が 2 kg と材料 Y が 3 kg 必要であり,その利益は 6 千円である.一方,ケーキを 1 ケース作るには材料 X が 4 kg と材料 Y が 2 kg 必要であり,その利益はマーガリンの量によって代わり, (8 -a) 千円になる. a を一定にしたときの総利益の最大値は,
0≦a < ア のとき ( イ ⁢ a2+ ウ ⁢ a+ エ ) 千円
ア ≦a≦ 8 のとき ( オ ⁢ a2+ カ ⁢ a+ キ ) 千円
となる.したがって総利益を最大にするためには a= ク とし,クッキーを ケ ケース,ケーキを コ ケース作ればよい.
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【5】 座標空間において,直線
g: x-1 3= y +24 =t⁢ (z- 1) ( t>0 )
上の点と z 軸上の点との最短距離は ア であって,これは g 上の点
A( イ ウ , エ オ , カ + キ ク ⁢ t )
と z 軸上の点
B (0, 0, カ + キ ク ⁢ t)
との距離である.
g に含まれ, 0≦z≦ 3 の範囲にある線分を z 軸のまわりに回転してできる曲面と平面 z =0 ,z= 3 で囲まれた部分の体積 V は,
V=( ケ ⁢ t 2+ コ ⁢ t+ サ ) ⁢π
であり,これは t= シ ス のとき最小値 セ ソ ⁢ π をとる.
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【6】 座標平面の第 1 象限にある 2 本の半直線を,
l:y=a ⁢x ,g:y =b⁢x ( x≧ 0 ,0<a <b )
とする.
g 上に点 A 1 をとり, A1 から l に下ろした垂線の足を A 2 ,A 2 から g に下ろした垂線の足を A3 , A 3 から l に下ろした垂線の足を A4 , 以下同様に g 上に点 A5 , A 7 ,⋯ ,l 上に点 A6 , A 8 ,⋯ をとる.
{ A 1A 2+A 2A 3+A 3A 1=12 三角形 A1 A2 A3 の面積 =6 A2 A3 >A 3A 1
が成り立つとき,つぎの問に答えなさい.
(ⅰ) a ,b の間には
ア ⁢ a⁢b+ イ ⁢ a+ ウ ⁢ b+ 3=0
の関係がある. a ,b 共に自然数のときは, a= エ , b= オ であり,このときの A1 , A 2 の x 座標 x1 ,x2 は, x1 = カ キ ,x2 = ク ケ である.
(ⅱ) A1 A2 +A 2A 3+ ⋯+A nA n+1 >20 をみたす最小の自然数 n は, n= コ である.必要なら, log10 ⁡2=0.3010 を用いてよい.