1995　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　座標$xyz$空間で$2$本の直線

$l_1:x-1=y\text{，}z=0$

$l_2:x=y=z-1$

を考える．

　$l_1$上に中心を持ち，$l_2$に接する球面のうち，最小の半径を持つものを求めると，その中心の座標は$(\boxed{\text{(イ)}},\boxed{\text{(ロ)}},\boxed{\text{(ハ)}})$であり，半径は$\boxed{\text{(ニ)}}$である．

【２】(1)　不定積分$I={\displaystyle \int }\sqrt{1+x^2}dx$を，$\sqrt{1+x^2}+x=t$とおいて，すなわち$\sqrt{1+x^2}=t-x$とおいて求める．$I=\boxed{\text{(ホ)}}$である．

(2)　座標$xyz$空間で$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を，$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1,1)$とおき，また，$\mathrm{O}$を座標原点とする．

　$n$を自然数とする．

　線分$\mathrm{BC}$を$n$等分する分点が，${\mathrm{P}}_0=\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_n=\mathrm{C}$の順に並んでいる．

　また，線分$\mathrm{OA}$を$n$等分する分点が，${\mathrm{Q}}_0=\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{Q}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{Q}}_n=\mathrm{A}$の順に並んでいる．

　$3$角形${\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{Q}}_{k+1}$の面積$S_k\text{，}$および$3$角形${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}{\mathrm{Q}}_{k+1}$の面積${S_k}^{\prime }$を求めると，$S_k=\boxed{\text{(ヘ)}}\text{，}{S_k}^{\prime }=\boxed{\text{(ト)}}$である．

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}(S_k+{S_k}^{\prime })$

を求めると，$S=\boxed{\text{(チ)}}$である．

【３】(1)　座標$xy$平面におけるだ円

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$

を$C$とする．点$\mathrm{P}(X,Y)$はだ円$C$の外部にあって，すなわち，${\displaystyle \frac{X^2}{4}}+Y^2>1$を満たし，点$\mathrm{P}(X,Y)$から$C$にひいた$2$本の接線は点$\mathrm{P}(X,Y)$で直交している．このような点$\mathrm{P}(X,Y)$全体のなす軌跡を求めよ．

(2)　座標$xy$平面において，長軸の長さが$4$で，短軸の長さが$2$のだ円を考える．このだ円が，第一象限（すなわち，$\{(x,y)|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\}$）において$x$軸，$y$軸の両方に接しつつ可能なすべての位置にわたって動くとき，このだ円の中心の描く軌跡を求めよ．

【４】　数直線$x$軸を$1$つの粒子が次のように運動する．すなわち，この粒子は$1$秒ごとに，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$x$軸の正の方向に$1$だけ移動し，確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で負の方向に$1$だけ移動し，確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$でその場所に留まる．

　$m\text{，}n$を自然数の定数とする．整数$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}m+n$に対して，この粒子が点$x=-m+k$から出発して，最初からどの瞬間においても点$x=-m$の位置を占めることなく，点$x=n$に到達する確率を$p_k$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$p_0\text{，}{p}_{m+n}$はいくらか．

(2)　$k=1\text{，}\cdots \text{，}m+n-1$に対して，$p_{k+1}\text{，}{p}_k\text{，}{p}_{k-1}$の間に成り立つ漸化式を求めよ．

(3)　$k=2\text{，}\cdots \text{，}m+n$に対して，$p_k$を$p_1$を用いて表せ．

(4)　$p_{m+n}$の値を考慮して$p_1$の値を求めよ．

(5)　$k=2\text{，}\cdots \text{，}m+n$に対して$p_k$の値を求めよ．

(6)　$n$を固定して，$m\to \infty$としたときの$p_m$の極限値$\underset{m\to +\infty }{\lim }{p}_m$を求めよ．

【５】　本問では，行列とは$2$行$2$列の行列を意味することとする．

(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対し，$D(A)=ad-bc$とおく．任意の行列$A\text{，}B$に対し，$D(AB)=D(A)D(B)$が成立することを証明せよ．

(2)　$2$以上の自然数$m$に対し，$X^m=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$を満たす行列$X$は存在しないことを証明せよ．

(3)　$\lambda$を$0$でない定数とする．

$X^3-\lambda X^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

を満たす行列$X$を求めよ．