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1995-13363-0101
1995 上智大学 経済(経営)学部
易□ 並□ 難□
【1】(1) A=( 3 26 - 16 ア イ ) は逆行列をもたない.このとき
A+A2 +A3 +A4 +A5 =6⁢ { 1- ( ウ エ ) 5} ⁢A
である.
(2) B=( オ -1 - 52 - 32 ) は逆行列 B -1= ( -3 カ キ ク ) をもつ. k⁢E+ B は 2 ⁢k2 + ケ ⁢ k+ コ ≠0 ならば逆行列をもつ.ここで k は定数, E は単位行列である. B-1 - (E+ B) -1 =( サ シ ス セ ) ⁢( E+B) -1 が成り立つ.さらに
B-1 ⁢ (E+ B) -1 +( E+B) -1 ⁢( 2⁢E+ B) -1+ (2 ⁢E+B )- 1⁢ (3 ⁢E+B )-1
+(3 ⁢E+B )- 1⁢ (4⁢ E+B) -1 =4 5⁢ ( ソ タ チ ツ )
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【2】 双曲線 xy =1 の上に, 3 点 A (a, 1a ) ,B (b , 1b ), C( 1,1 ) がある.
(1) A ,B が第 3 象限にあり,三角形 ABC が正三角形であれば,
a= テ - ト ,b= ナ + ニ (ただし a< b<0 )
であり,その面積は ヌ ⁢ ネ である.
(2) 三角形 ABC が ∠C= 90° の直角三角形であれば,
b= ノ ⁢ a+ ハ a
である.三角形 ABC の面積を S とすると,
S= 12⁢ | ヒ ⁢ a2+ フ + ヘ a2 |
となる.ただし ヒ は正とする.もし S= 15 8 で, a>1 ならば a = ホ となる.
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【3】(1) 1 次以下のすべての整式 g⁡ (x ) に対して ∫01 ⁡( a⁢x2 +b⁢x +1) ⁢g⁡( x)⁢ dx=0 となるならば, a= マ ,b= ミ である.
(2) (1)で定めた a , b に対し
Cn= ∫ 01⁡ (a⁢ x2+ b⁢x+ 1)⁢ xn⁢ dx ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
とおく.このとき
Cn= ム ⁢ n2 + メ ⁢ n+ モ n3 + ヤ ⁢ n2+ ユ ⁢ n+ ヨ
(3) n= ラ と n= リ において C n は最大値をとる.ここで ラ < リ とする.