1995　上智大学　経営MathJax

【１】(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{2}}& 6\\ -{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\end{array}\right)$は逆行列をもたない．このとき

$A+A^2+A^3+A^4+A^5=6\{1-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\right)}^5\}A$

である．

(2)　$B=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{オ}}& -1\\ -{\displaystyle \frac{5}{2}}& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$は逆行列$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& \boxed{\text{カ}}\\ \boxed{\text{キ}}& \boxed{\text{ク}}\end{array}\right)$をもつ．$kE+B$は$2k^2+\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{コ}}\ne 0$ならば逆行列をもつ．ここで$k$は定数，$E$は単位行列である．$B^{-1}-{(E+B)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{サ}}& \boxed{\text{シ}}\\ \boxed{\text{ス}}& \boxed{\text{セ}}\end{array}\right){(E+B)}^{-1}$が成り立つ．さらに

である．

【２】　双曲線$xy=1$の上に，$3$点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})\text{，}\mathrm{B}(b,{\displaystyle \frac{1}{b}})\text{，}\mathrm{C}(1,1)$がある．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が第$3$象限にあり，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形であれば，

$a=\boxed{\text{テ}}-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\text{，}b=\boxed{\text{ナ}}+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$（ただし$a<b<0$）

であり，その面積は$\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$が$\angle C=90\mathrm{°}$の直角三角形であれば，

$b=\boxed{\text{ノ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{a}}$

である．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}|\boxed{\text{ヒ}}{a}^2+\boxed{\text{フ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{a^2}}|$

となる．ただし$\boxed{\text{ヒ}}$は正とする．もし$S={\displaystyle \frac{15}{8}}$で，$a>1$ならば$a=\boxed{\text{ホ}}$となる．

【３】(1)　$1$次以下のすべての整式$g(x)$に対して${\displaystyle {\int }_0^1}(a{x}^2+bx+1)g(x)dx=0$となるならば，$a=\boxed{\text{マ}}\text{，}b=\boxed{\text{ミ}}$である．

(2)　(1)で定めた$a\text{，}b$に対し

$C_n={\displaystyle {\int }_0^1}(a{x}^2+bx+1)x^{n}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき

$C_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}{n}^2+\boxed{\text{メ}}n+\boxed{\text{モ}}}{n^3+\boxed{\text{ヤ}}{n}^2+\boxed{\text{ユ}}n+\boxed{\text{ヨ}}}}$

である．

(3)　$n=\boxed{\text{ラ}}$と$n=\boxed{\text{リ}}$において$C_n$は最大値をとる．ここで$\boxed{\text{ラ}}<\boxed{\text{リ}}$とする．