1995　上智大学　法(法律)学部MathJax

【１】　空間に次の式で与えられる平面$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$がある．

$S_1:3x+2y-z=-4$

$S_2:2x+y+2z=10$

$S_3:ax+by+cz=16$

(1)　$S_1\text{，}{S}_2$の交線の方程式は

${\displaystyle \frac{x+1}{5}}={\displaystyle \frac{y+\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}={\displaystyle \frac{z+\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．$S_3$がこの直線を含み，点$(2,2,-2)$を通るならば$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カ}}\text{，}c=\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　$S_2$が点$(2,1,-6)$を通り， $S_1\text{，}{S}_2$の両方に直交するならば$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}\text{，}c=\boxed{\text{コ}}$である．

(3)　$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$に共通の点がないための必要十分条件は

$\boxed{\text{サ}}a+\boxed{\text{シ}}b+c=0\text{，}\boxed{\text{ス}}a+\boxed{\text{セ}}b\ne 8$

である．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_2& a_3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}{b}_1& b_2\\ b_2& b_3\end{array}\right)$は次の$3$つの条件をみたす．

(ⅰ)　$A+B=E$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{2}}(AB+BA)=B-A+E$

(ⅲ)　$A\ne E\text{，}B\ne -E$

ここで，$E$は単位行列を表す．

(1)　${a_2}^2=\boxed{\text{ソ}}{a_1}^2+\boxed{\text{タ}}{a}_1+\boxed{\text{チ}}$が成り立つ．

(2)　$a_2\ne 0$のとき，$a_1+a_3=\boxed{\text{ツ}}$である．

(3)　$a_2=0$のとき，$a_1=\boxed{\text{テ}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{ト}}$または$a_1=\boxed{\text{ナ}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{ニ}}$である．

　ただし$\boxed{\text{テ}}<\boxed{\text{ナ}}$である．

(4)　${a_2}^2$は$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$をとる．このとき$a_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

【３】　空間に点$\mathrm{C}(1,-3,0)$を中心とし，半径$5\sqrt{2}$の球面$S$と点$\mathrm{P}(-7,3,10)$が与えられている．

(1)　$\mathrm{P}$と$S$上の点$\mathrm{A}$を通る直線が$S$に接するとき，線分$\mathrm{PA}$の長さは$\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．線分$\mathrm{PA}$を直線$\mathrm{PC}$を軸として回転してえられる円錐の側面積は$\boxed{\text{マ}}\pi$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．

(2)　$S$上に点$\mathrm{Q}(-3,0,5)$がある．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線が$S$と交わる点のうち$\mathrm{Q}$と異なる点を$\mathrm{R}$とすれば，線分$\mathrm{PR}$の長さは$\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}$である．