1995 上智大学 理工(機械・電気電子)学部MathJax

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1995 上智大学 理工学部

機械工学科・電気電子学科

易□ 並□ 難□

【1】  0a 1 0 b1 なる実数 a b が与えられたとする.一次不等式

{ x+y 1a 2x+ ya x0 y 0

で決まる領域を (x ,y) が動くときの関数 b x+a y の最大値を f (a, b) とする.

(1)  f( 12 , 14 ) を求めよ.

(2)  f( a,b ) a b を用いて表せ.

(3) 横軸に a 縦軸に b をとった座標平面において,点 P (a ,b) は以下の曲線上を動くものとする.

f( a,b) =1 2 0a 1 0b 1

このとき,原点と点 P (a ,b) を結ぶ線分を対角線とし各辺が座標軸に平行な長方形の面積が最大になるときの a の値を求めよ.

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【2】  xyz 空間内で方程式

x2+ y2+ 4z2 =4

で表される図形を E とする.

(1)  E 上の 2 (0 ,0,1 ) (a ,b,c ) を通る直線が xy 平面と交わる点を ( u,v ) とすると,

u= a1+ c v= b 1+ c

である.

(2) 点 (0 ,0,1 ) xy 平面上の点 (u ,v) を通る直線が E と交わる点を ( a,b, c) とすると,

a= up b= vp c= +u +v p

である.ただし

p= + u +v

である.

(3) (2)において点 (u ,v) が中心 (1 ,-1 ) で半径 2 の円周上を動くときの点 (a ,b,c ) の軌跡は平面

x+ y+ z=1

上にある.

(4) (1)において,ある平面 α E との交わり上を点 (a ,b,c ) が動くとき,点 ( u,v ) の軌跡が x y 平面内の直線になるための必要十分条件は α が点 ( , , ) を通ることである.

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【3】(1)

π2 32 π sin 3t dt=

である.

 また, 2 倍角の公式と部分積分を使うと

π2 32 π t sin2 t dt= π2

であることがわかる.さらに

π2 32 π t 2sin td t=[ -t2 cost] π2 32 π+ π2 32 π 2 tcos td t= π

となる.

(2) 次のように媒介変数表示される曲線を C とする.

{ x=t- sint y= 1-cos t 0 t2 π

傾きが 1 となる曲線 C の接線の C 上の接点を P (a ,b) とすると a = π + である.また,傾きが -1 である C の接線の C 上の接点を Q とすると,線分 PQ および C で囲まれた図形の面積は π+ である.また,この図形を y 軸に関して回転して出来る回転体の体積は π 3+ π 2 である.

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【4】  xy 平面上の原点に碁石を 1 つ置く.さいころを振り, 1 または 2 が出たら碁石を x 方向に 1 動かす. 3 または 4 が出たら碁石を x 方向に -1 動かす. 5 または 6 が出たら碁石を y 方向に 1 動かす.このとき次の問に答えよ.

(1) さいころを 4 回振ったとき,碁石が原点にある確率は 33 であり,碁石が ( 1,1 ) にある確率は 33 である.

(2) さいころを 10 回振ったとき,碁石が原点にある確率は 38 であり,碁石が ( 7,3 ) にある確率は 39 であり,碁石が ( 5,1 ) にある確率は 38 であり,碁石が直線 y =x 上にある確率は 2 38 である.

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