1996　大学入試センター試験　本試験　数学IIMathJax

【１】　平面内に点$\mathrm{O}$と三角形$\mathrm{ABC}$がある．

〔１〕　点$\mathrm{P}$は$\mathrm{-7}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+13\overrightarrow{\mathrm{PB}}+11\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たすものとする．

(1)　このとき

• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}+z\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
• $x+y+z=1$

を満たす$x，$$y，$$z$はそれぞれ

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$，$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$，$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$

である．

(2)　$a={\displaystyle \frac{3}{10}}$とし，$b，$$c$を$0<b<1，$$0<c<1$を満たす数とする．辺$\mathrm{AB}，$$\mathrm{BC}，$$\mathrm{CA}$をそれぞれ$a:1-a，$$b:1-b，$$c:1-c$に内分する点を${\mathrm{A}}^{\prime }，$${\mathrm{B}}^{\prime }，$${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．このとき

$\mathrm{-5}\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }}+31\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }}-9\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{C}}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$

が成り立つならば

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$，$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$

である．

〔２〕　点$\mathrm{Q}$を$5\overrightarrow{\mathrm{QA}}+6\overrightarrow{\mathrm{QB}}+8\overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{0}$を満たすようにとる．直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

と表される．

　三角形$\mathrm{ABM}$と三角形$\mathrm{AMC}$の面積の比は

$▵\mathrm{ABM}:▵\mathrm{AMC}=\boxed{\text{ネ}}:\boxed{\text{ノ}}$

で与えられる．

　直線$\mathrm{AM}$が角$\mathrm{A}$の二等分線になるのは

$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\boxed{\text{ハ}}:\boxed{\text{ヒ}}$

のときである．

　点$\mathrm{Q}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心であるとき

$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=\boxed{\text{フ}}:\boxed{\text{ヘ}}:\boxed{\text{ホ}}$

となる．

【２】

〔１〕　初項$a$，公比$r$の等比数列の第$n$項を$a_n$とする．ただし，$a$と$r$は正の数である．

$S_n={\log }_2{a}_1+{\log }_2{a}_2+\cdots +{\log }_2{a}_n$$(n=1，2，3，\cdots )$

とおく．正の数$c$を用いて，

$S_n=2n^2{\log }_2(c+1)+n{\log }_{2}c$$(n=1，2，3，\cdots )$

と表されるならば

$a=c^3+\boxed{\text{ア}}{c}^2+c$

$r={(c+\boxed{\text{イ}})}^{\boxed{\text{ウ}}}$

である．このとき，${\displaystyle \frac{r}{a}}$が最小になるのは$c=\boxed{\text{エ}}$のときであり，その最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】

〔２〕　$a$を定数とする．$x=1$での値が$0$となり，その導関数が$3x^2+6x+a$となる関数を$f(x)$とする．このとき

$f(x)=x^3+\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}x-a-\boxed{\text{ク}}$

である．

　$y=f(x)$によって表される曲線を$C$とする．

　$C$の接線で傾きが$1$のものが$2$本存在するための必要十分条件は$a<\boxed{\text{ケ}}$である．この場合，$2$個の接点の$x$座標は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{シス}}-\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

　また，$C$の接線で傾きが$a-\boxed{\text{チ}}$のものはただ$1$本存在し，その接点の$x$座標は$\boxed{\text{ツテ}}$であり，その接線の方程式は

$y=(a-\boxed{\text{ト}})x-a-\boxed{\text{ナ}}$

である．$a=2$のとき，この接線と$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{ニヌ}}$である．

【３】　$1$から$25$までの整数がひとつずつ書いてあるカードが$25$枚ある．これをよくきって，$1$枚ずつ$2$回ぬきとる．最初にぬきとったカードをもとに戻してよくきってから次のカードをぬきとる場合を「戻す場合」といい，最初のカードを戻さずに次のカードをぬきとる場合を「戻さない場合」ということにする．

　最初にぬいたカードに書いてある整数を$a$とし，次にぬいたカードに書いてある整数を$b$とする．

(1)　戻す場合，$a+b=9$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウエ}}}}$である．

(2)　戻さない場合，$a+b=9$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(3)　戻す場合，$550<ab<600$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコサ}}}}$である．

(4)　戻さない場合，$550<ab<600$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセソ}}}}$である．

(5)　戻す場合，$a<2b$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチツ}}}{\boxed{\text{テトナ}}}}$である．

(6)　戻さない場合，$a<2b$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$である．