1996　北海道大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q$は実数で$p>0$とし，$f(x)=x^3-3p^{2}x+q$とおく．方程式$f(x)=0$が実数解$\alpha \text{，}\beta$で$\alpha <\beta$かつ$\alpha$が重複解となるものをもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$q\text{，}\alpha \text{，}\beta$をそれぞれ$p$を使って表せ．

(2)　$x$軸と曲線$y=f(x)\text{，（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{）}$で囲まれた図形の面積が$2p$に等しいとき，$p$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　円$x^2+y^2=25$と直線$x+2y=10$との交点を求めよ．

(2)　連立不等式$x^2+y^2\leqq 25\text{，}x+2y\leqq 10$の表す領域を点$(x,y)$が動くとき，$mx+y$のとる値の最大値を$m$を使って表せ．ただし，$m$は実数で$m>0$とする．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ 9& a\end{array}\right)$の表す平面の$1$次変換を$T$とするとき，$T$は次の条件(イ)，(ロ)をみたすとする．

• (イ)　$T$は格子点を格子点に移す．
• (ロ)　$T$によって格子点に移される点は格子点にかぎる．

　ここに格子点とは座標が整数の組となる平面の点をいう．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$k$を正の整数とする．$4$点

$(0,0)\text{，}(8k,9k)\text{，}(9k,ak)\text{，}(17k,(9+a)k)$

を結んでできる平行四辺形の（辺および頂点を除く）内部に含まれる格子点の個数を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}\text{（}n\geqq 1\text{）}$は，$1$以上のすべての整数$m\text{，}n$に対して次の関係式をみたすとする．

$(n+2m)a_n-(m+2n)a_m+(m-n)a_{n+m}=0$

(1)　$a_1=0\text{，}{a}_2=6$とするとき，一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_1=1\text{，}{a}_2=2$とするとき，一般項$a_n$を求めよ．

【１】　一枚の硬貨を投げて，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が次のようなゲームを行う．ゲーム開始時における$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君の得点はともに$0$点とする．毎回の硬貨投げの試行で表がでたとき$\mathrm{A}$君の勝ち，裏が出たとき$\mathrm{B}$君の勝ちとし，買った方に$\mathrm{+1}$点，負けた方に$\mathrm{-1}$点がそれまでの得点に加えられるとする．

　各試行は独立としてこの試行を続けたとき，次の問いに答えよ．ただし，硬貨の表と裏のでる確率は，ともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．また，$n$と$m$はともに$1$以上の整数とする．

(1)　$3$回の試行の後，$\mathrm{A}$君の得点が$1$点である場合の数を求めよ．

(2)　$2n$回の試行の後，$\mathrm{A}$君の得点が$2m$点である場合の数を求めよ．

(3)　$2n$回の試行の後，$\mathrm{A}$君の得点が$2m$点とする．試行開始後$\mathrm{A}$君の得点がつねに$\mathrm{B}$君の得点より多い確率を求めよ．

【２】　曲線$y=f(x)$は直線$y=\mathrm{-1}$と交点をもたないものとする．点$(t,f(t))$における曲線$f(x)$の接線は直線$y=\mathrm{-1}$と交点をもち，その交点の$x$座標を$g(t)$とする．

　$g(t)$が${\displaystyle \frac{dg(t)}{dt}}=1\text{，}g(1)=0$をみたしているとき，次のそれぞれの場合に関数$f(x)$を表す式を求めよ．

(1)　曲線$y=f(x)$が点$(0,1)$を通る場合．

(2)　曲線$y=f(x)$がある点で曲線$y=x^2-4$と接する場合．

　ただし，$2$つの曲線が点$(a,b)$で接するとは，$(a,b)$が$2$つの曲線上にあり，かつ$(a,b)$における$2$つの曲線の接線が等しいことをいう．

【３】　平面上で原点$\mathrm{O}$と異なる定点を$\mathrm{A}(a,b)$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$から$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$へはかった角$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる範囲にあるものとし，${\displaystyle w=\frac{ay-bx}{ax+by}}$とおく．$2$点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$の間の距離を$\mathrm{XY}$で表すものとする．

(1)　$ay-bx$および$w$を$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OP}\text{，}\theta$で表せ．

(2)　定数$k$を$0<k<\mathrm{OA}$とする．$0<\mathrm{AP}<k$であるとき，$w$のとりうる値の範囲を$a\text{，}b\text{，}k$を用いて表せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法により次の不等式を証明せよ．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2^n}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+1$

(2)　次の命題は真か偽か．真ならば証明し，偽ならばその例をあげ理由を説明せよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{n+1}-a_n)=0$ならば数列$\left\{a_n\right\}$は収束する．

【５】　$a$を$0\leqq a<1$の範囲の数とする．

$F(a)={\displaystyle {\int }_1^2}|\log (x-a)|dx$

とおくとき，$F\left(a\right)$の最小値とそれを与える$a$の値を求めよ．