1996　北海道大学　後期理，工学部MathJax

【１】　範囲$x\geqq 0$で定義された関数$f(x)$が$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$e^x\geqq 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$を示せ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)e^{-x}=0$を示せ．

(3)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^t}\{f(x)-f^{\prime }(x)\}{e}^{-x}dx=f(0)$を示せ．

【２】　$0<a\leqq b$とし，平面$ax+ay+bz=1$と平面$z=0$のなす角を$\alpha$とする．平面$ax+ay+bz=1$と集合$\{(x,y,z)|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0\}$との共通部分の作る三角形の最大の内角を$\beta$とする．

(1)　$\tan \alpha$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$\tan \beta$を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$\tan \alpha \tan \beta$が最小となるときの$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{2}{x}})\text{，}\text{（}x>0\text{）}$について次の操作を行う．$x_1>\sqrt{2}$とする．直線$x=x_1$が曲線$y=f(x)$と交わる点を${\mathrm{P}}_1$とする．${\mathrm{P}}_1$から$x$軸に平行に引いた直線が直線$y=x$と交わる点を${\mathrm{Q}}_1$とし，${\mathrm{Q}}_1$から$x$軸への垂線と曲線$y=f(x)$の交点を${\mathrm{P}}_2$とする．点${\mathrm{P}}_2$の$x$座標を$x_2$とする．$x_1$から$x_2$を定めたように$x_2$から$x_3$を定め，以下同じように$x_4\text{，}{x}_5\text{，}\cdots$を定める．

(1)　$x_n$と$x_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$のj関係を漸化式で与えよ．

(2)　$0\leqq x_{n+1}-\sqrt{2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}.(x_n-\sqrt{2})$であることを示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sqrt{2}$を証明せよ．

(3)　範囲$x>\sqrt{2}$で定義された関数$g(x)$のグラフ上の点$(t,g(t))\text{，}\text{（}t>\sqrt{2}\text{）}$における接線が$x$軸と$1$点で交わるとし，その交点の$x$座標を$h(t)$とする．$t$と$h(t)$の関係が(1)で求めた$x_n$と$x_{n+1}$の関係に等しいとき，関数$g(x)$の形を求めよ．

【４】　$n$は$3$以上の整数とする．

(1)　$g(x)=(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x$を$n$次多項式とする．$1$以上のすべての整数$k$に対し，$g(k)$は$n!$の倍数であることを示せ．

(2)　$f(x)$は$x^n$の係数を$1$とする$n$次多項式とする．$f_1(x)=f(x+1)-f(x)$の$x^{n-1}$の係数および$f_2(x)=f_1(x+1)-f_1(x)$の$x^{n-2}$の係数をそれぞれ求めよ．

(3)　$a$を$1$以上の整数，$f(x)$を(2)の多項式とする．$1$以上のすべての整数$k$について$f(k)$が整数で$a$を約数にもつとき，$a$は$n!$の約数であることを示せ．