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1996-10007-0101
1996 室蘭工業大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 H を ( xy -y x ) ( y>0 ) なる行列全体の集合とし,定数 a , b ,c , d は a ⁢d-b ⁢c≠ 0 をみたすとする.また, E=( 1 0 01 ) とする.
(1) H の要素 Z =( xy -y x ) に対して, c⁢Z +d⁢E は逆行列をもつことを示せ.
(2) H の要素 Z =( xy -y x ) に対して,行列 ( a⁢Z+ b⁢E) ⁢( c⁢Z+ d⁢E )- 1 が H の要素であるための必要十分条件は a ⁢d-b ⁢c> 0 であることを示せ.
1996-10007-0102
【2】 2 次関数 f ⁡(x )=a ⁢x2 +b⁢ x+c は, g⁡( x)= x⁢f⁡ (x ), h⁡ (x )= x2⁢ f⁡( x) とおくとき,次の条件(イ),(ロ)をみたすものとする.
(イ) 曲線 y =g⁡( x) は点 ( 1,2 ) に関し対称である.
(ロ) 曲線 y =g⁡ (x ) と曲線 y =h⁡( x) との交点 ( 1,f⁡ (1 ) ) におけるそれぞれの接線は直交する.
(1) このとき定数 a , b ,c を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡ (x ) と曲線 y =h⁡ (x ) の点 ( 1,f⁡ (1 ) ) におけるそれぞれの接線が交わる角を θ ( 0⁢ ° ≦θ≦ 90⁢ ° ) とするとき, tan⁡θ の値を求めよ.
(3) 曲線 y =g⁡( x) と曲線 y =h⁡ (x ) とで囲まれる部分の面積 S を求めよ.
1996-10007-0103
【3】 p ,q を実数とする.数列 { an } ( n=1 , 2 ,⋯ ) は,
a1 =0 ,a 2=1 , an =p⁢ an-1 -q⁢ an- 2 ( n= 3 ,4 , ⋯ )
をみたし,さらに 0 でない極限値 α をもつ.
(1) p-q の値を求めよ.
(2) -1< q<1 であることを示せ.
(3) α を q で表せ.
1996-10007-0104
【4】 f⁡( x) は x ≧0 で定義された連続関数で f ⁡( x)≧ 0 とする. a≧0 とするとき, f⁡( 1)= a である.すべての l >0 に対して, 0≦x ≦l ,0 ≦y≦ f⁡( x) をみたす点 ( x,y ) の全体からなる図形の面積は k ⁢l⁢f ⁡( l) に等しい.ここに 0 <k≦1 とする.このとき f ⁡(x ) を求めよ.