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1996 室蘭工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】  H ( xy -y x ) y>0 なる行列全体の集合とし,定数 a b c d a d-b c 0 をみたすとする.また, E=( 1 0 01 ) とする.

(1)  H の要素 Z =( xy -y x ) に対して, cZ +dE は逆行列をもつことを示せ.

(2)  H の要素 Z =( xy -y x ) に対して,行列 ( aZ+ bE) ( cZ+ dE )- 1 H の要素であるための必要十分条件は a d-b c> 0 であることを示せ.

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【2】  2 次関数 f (x )=a x2 +b x+c は, g( x)= xf (x ) h (x )= x2 f( x) とおくとき,次の条件(イ),(ロ)をみたすものとする.

(イ) 曲線 y =g( x) は点 ( 1,2 ) に関し対称である.

(ロ) 曲線 y =g (x ) と曲線 y =h( x) との交点 ( 1,f (1 ) ) におけるそれぞれの接線は直交する.

(1) このとき定数 a b c を求めよ.

(2) 曲線 y =f (x ) と曲線 y =h (x ) の点 ( 1,f (1 ) ) におけるそれぞれの接線が交わる角を θ 0 ° θ 90 ° とするとき, tanθ の値を求めよ.

(3) 曲線 y =g( x) と曲線 y =h (x ) とで囲まれる部分の面積 S を求めよ.

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【3】  p q を実数とする.数列 { an } n=1 2 は,

a1 =0 a 2=1 an =p an-1 -q an- 2 n= 3 4

をみたし,さらに 0 でない極限値 α をもつ.

(1)  p-q の値を求めよ.

(2)  -1< q<1 であることを示せ.

(3)  α q で表せ.

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【4】  f( x) x 0 で定義された連続関数で f ( x) 0 とする. a0 とするとき, f( 1)= a である.すべての l >0 に対して, 0x l 0 y f( x) をみたす点 ( x,y ) の全体からなる図形の面積は k lf ( l) に等しい.ここに 0 <k1 とする.このとき f (x ) を求めよ.

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