1996　東北大学　後期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ y& z\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$に対して，等式$A^{2}B=B{A}^2\text{，}AC=CA$が成り立つとき$x\text{，}y\text{，}z$の値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が漸化式

$a_{n+1}=a_n-4b_n+1\text{，}{b}_{n+1}=2a_n-5b_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されている．ただし，$a_1=1\text{，}{b}_1=0$とする．

(1)　$a_n-b_n$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【３】　$2$つの曲線$y=x^3-16x$と$y=-x^3-2x^2+a$は$x$座標が負の点を共有し，かつ，その点において共通の接線$l$をもつとする．

(1)　$a$を求めよ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　$2$つの曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$1$次変換$f$による．円$C_1\text{：}{(x-2)}^2+y^2=1$の像が，円$C_2\text{：}{x}^2+{(y-t)}^2=4\text{（}t>0\text{）}$に一致するとき，$f$を表す行列$A$および$t$の値を求めよ．

【２】　頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の円の中心に一致する円すいを直円すいと呼ぶ．側面積が$6\pi$である直円すいのなかで体積が最大となるものを考える．このとき，底面の半径および高さを求めよ．

【３】　右の図のように，道路が碁盤の目のようになった街がある．地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$までの長さが最短の道を行くとき，次の場合は何通りの道順があるか．

(1)　地点$\mathrm{C}$を通る．

(2)　地点$\mathrm{P}$は通らない．

(3)　地点$\mathrm{P}$および地点$\mathrm{Q}$は通らない．

【４】　点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,4)$を頂点とする$4$面体$V$と平面$\alpha \text{：}x+2y+2z=2k$がある．$V$は$\alpha$と交わり，その切り口は$4$角形であるとする．

(1)　$k$の範囲を求めよ．

(2)　切り口の$4$角形の面積を$k$で表せ．

(3)　$V$を$\alpha$により$2$つの部分に切断し，頂点$\mathrm{O}$を含む部分を$W$とする．$3$つの座標平面に接し，$W$に含まれる球の半径の最大値を求めよ．

【５】　$f(x)$を連続な関数とする．すべての$x$に対して

$f(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)\cos (x-t)dt$

が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．