1996　筑波大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の定数とし，長さ$a+b$の線分$\mathrm{AB}$と，線分$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点$\mathrm{P}$を考える．線分$\mathrm{AB}$の端点$\mathrm{A}$は$x$軸上，端点$\mathrm{B}$は$y$軸上を動くものとする．

(1)　点$\mathrm{P}$の描く曲線の方程式を求めよ．

(2)　この曲線に線分$\mathrm{AB}$が接するときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1+a& b\\ c& 1+d\end{array}\right)$を考える．ただし$ad=bc$とする．

(1)　$A^2=\lambda A$を満たす数$\lambda$が存在することを示し，$\lambda$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(2)　平面上の任意の点$\mathrm{P}$をとる．行列$B$で表される平面の$1$次変換によって，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$にうつされ，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{R}$にうつされるとする．このとき$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

【３】　$k$を$0$以上の定数とする．いま関数$f(x)$および$g(x)$を

$f(x)=x^4+2x^3-3x^2$

$g(x)=(k-4)x^2+kx-{\displaystyle \frac{k^2}{4}}$

で定義したとき，方程式$f(x)-g(x)=0$は重解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$を持っている．

(1)　$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$を$k$を用いて表せ．

(2)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれる部分の面積$S$を$k$を用いて表せ．さらに，$S$を最小とする$k$の値と$S$の最小値を求めよ．

【４】　$a$を正の定数とし，

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}(1+xt-x^2)e^{-t}dt$

と定義する．

(1)　$f(x)$を最大にする$x$の値$x_0$を$a$を用いて表せ．

(2)　$0<x_0<{\displaystyle \frac{1}{2}}$となることを示せ．

【５】　$f(y)$を$y\geqq 0$で定義された微分可能な単調増加関数で，$f(0)=0\text{，}f(1)=\sqrt{2\pi }$とする．曲線$x=f(y)$を$y$軸のまわりに回転してできる容器に，時刻$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$において単位時間あたり$e^t$の割合（注入速度）で水を注ぐ．時刻$t$における水面の高さを$h(t)\text{，}$水面の表面積を$s(t)$とする．ただし$h(0)=0$である．

(1)　$h^{\prime }(t)s(t)=e^t\text{（}t>0\text{）}$を示せ．

(2)　次式が成り立つとき，$h(t)$と$s(t)$を求めよ．

$h(t)s^{\prime }(t)=e^t\text{（}t>0\text{）}$

【６】　ある町の住人を任意に$3$人選んで$1\text{，}2\text{，}3$と番号をつけ，それぞれの人の生まれた曜日を調べる．ただし町の人口は十分多く，その中でどの曜日に生まれた人も同じ割合であるとする．

　$3$人のうち少なくとも$2$人が同じ曜日生まれであるという事象を$\mathrm{A}\text{，}1$番目の人が日曜日生まれであるという事象を$\mathrm{B}\text{，}$また$3$人全員が同じ曜日生まれであるという事象を$\mathrm{C}$とする．

(1)　事象$\mathrm{A}$の確率を求めよ．

(2)　事象$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とは独立であることを示せ．

(3)　事象$\mathrm{C}$が起こらないことがあらかじめわかったときの事象$\mathrm{A}$の条件付確率を求めよ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【３】，【５】，【６】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【３】〜【５】必須

　生物学類　【１】〜【３】，【５】，【６】必須

　生物資源学類　【２】〜【４】から２問を選択解答

第三学群

　社会工学類　【２】〜【５】必須

　国際総合学類　数学III選択【１】〜【３】必須

　情報学類，工学システム学類，基礎工学類，医学専門学類　【１】〜【３】，【５】，【６】必須