1996　筑波大学　前期自然学類選択問題MathJax

【１】　自然数$n$に対して

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1+e^{n\pi })$

と定義する．

(1)　$x\geqq 0$に対して$x<f_n(x)\leqq x+{\displaystyle \frac{1}{n}}\log 2$であることを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=g(x)$とする．関数$g(x)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f_n(x)$の漸近線をすべて求めよ．ただし，直線$y=ax+b$が曲線$y=f(x)$の漸近線であるとは，

$\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-(ax+b))$であるか，$\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-(ax+b))=0$

であることを意味する．

【２】　$n\text{，}m$は$2$以上の自然数，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は正の定数とする．

(1)　極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+x+1}-x)$

を求めよ．

(2)　等式

$X-Y={\displaystyle \frac{X^n-Y^n}{P(X,Y)}}$

をみたす$X\text{，}Y$の多項式$P(X,Y)$を求めよ．

(3)　極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt[n]{x^n+a{x}^{n-1}+b}-x)$

を求めよ．

(4)　極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt[n]{x^n+a{x}^{n-1}+b}-\sqrt[m]{x^m+c{x}^{m-1}+d})$

を求めよ．