1996　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，$f(\theta )=2\sin \theta \cos \theta -2a(\sin \theta +\cos \theta )+1$とおく．ただし，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くものとする．

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とおくとき，$t$がとる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$を$t$の関数として表せ．

(3)　$f(\theta )$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　$A\text{，}B\text{，}C$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．

(1)　$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}{A}^2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$を満たす$A$を求めよ．

(2)　$B\text{，}C$が$B\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}C\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}BC=CB$を満たすとき，積$BC$を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$l\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}+n\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$となるように，なるべく簡単な自然数$l\text{，}m\text{，}n$を定めよ．

(2)　また，$\angle \mathrm{APB}=90\mathrm{°}$で$\mathrm{PA}=2\text{，}\mathrm{PB}=\sqrt{3}$のとき，$2$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\mathrm{CD}$は$\mathrm{AB}$に垂直であることを示せ．

【４】　曲線$y=x^3+k{x}^2-5x+3$と直線$y=-2x+3$との交点の$x$座標で，$0$と異なるものを$\alpha \text{，}\beta$とする．

(1)　${\alpha }^2+{\beta }^2\text{，}{\alpha }^3+{\beta }^3\text{，}{\alpha }^4+{\beta }^4$を$k$で表せ．

(2)　曲線と直線で囲まれる図形の面積を$k$で表し，最小値を求めよ．