1996　埼玉大学　後期(理,工学部)MathJax

【１】　曲線$y=e^x+e^{-x}$上に点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$をとる．ただし，$\alpha >0$とする．

(1)　$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{PQ}$の長さを$\beta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【２】(1)　つぎの積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos xdx\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos 2xdx\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\cos x\cos 2xdx$

(2)　$a\text{，}b$を実数として，関数

$f(x)=a\cos x+b\cos 2x$

を考える．つぎの積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(x-f(x))}^{2}dx$

を最小にする$a\text{，}b$の値とそのときの$I$の値を求めよ．

【３】　$45$人の$\stackrel{\text{りきし}}{\text{力士}}$が$3$つの$\stackrel{\text{すもう}}{\text{相撲}}$部屋に配属されている．各相撲部屋に配属された力士の数を$x\text{，}y\text{，}z$とする．

(1)　同じ部屋に属する力士どうしの取り組み（対戦）はないものとするとき，可能な取り組みの総数$T$を表す式を求めよ．

(2)　$T$が最大になるのはどのように配属された場合か．

【４】　$xyz$空間において点$\mathrm{P}(0,1,2\sqrt{3})$と球$S:x^2+y^2+{(z-\sqrt{3})}^2=1$がある．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り，方向ベクトルが$(p,q,r)$の直線を$l$とするとき，$l$と点$\mathrm{Q}(0,0,\sqrt{3})$との距離を求めよ．

(2)　今，$\mathrm{P}$に点光源をおいたとき，$xy$平面（すなわち平面$z=0$）にできる球$S$の影を図示せよ．