1996　埼玉大学　前期(理（数）学部)MathJax

【１】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 3& -1\end{array}\right)$に対し，$P=A-I\text{，}Q=2I-A$とおく．ただし，$I$は単位行列とする．

(1) 　$P^2=P\text{，}{Q}^2=Q\text{，}PQ=QP=O\text{，}A=2P+Q$となることを示せ．ただし，$O$は零行列とする．

(2)　実数$\alpha \text{，}\beta$に対し，${(\alpha P+\beta Q)}^n={\alpha }^{n}P+{\beta }^{n}Q\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の点$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$に対し，$f(\overrightarrow{p})=x^2-xy+y^2$とおく．

(1)　$\overrightarrow{p}$が零ベクトルでないならば，$f(\overrightarrow{p})>0$であることを示せ．

(2)　異なる$2$点$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$をとる．このとき，$f(t\overrightarrow{p}+(1-t)\overrightarrow{q})$は，$t$の$2$次関数であること，および$t^2$の係数は$f(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q})$であることを示せ．

(3)　$f(\overrightarrow{p})=f(\overrightarrow{q})=1$のとき（ただし$\overrightarrow{p}\ne \overrightarrow{q}$），$0<t<1$を満たす$t$に対して，不等式$f(t\overrightarrow{p}+(1-t)\overrightarrow{q})<1$が成り立つことを示せ．

【３】　座標空間において円柱面

$C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}$

を考える．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(1,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(x,y,0)\text{，}\mathrm{R}(x,y,z)$（ただし$z\geqq 0$）を考える．$\overline{\mathrm{PR}}=2$のとき，$z$を$\theta =\angle \mathrm{POQ}$の関数で表せ．ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．

(2)　中心$(1,0,0)\text{，}$半径$2$の球$S$の内部にある$C$の部分の面積を求めよ．

【４】　$3$枚のコインを用意する．最初，$3$枚全部表になっている．この中から無作為に一枚のコインを取り出して裏返しする操作を$n$回繰り返したとき，すべてのコインが表になっている確率を$P_n$とする．

(1)　$P_2\text{，}{P}_4$を求めよ．

(2)　$n$が奇数のとき$P_n=0$である理由を述べよ．

(3)　$P_{2n+2}$を$P_{2n}$で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{2n}$を求めよ．