1996　千葉大学　前期MathJax

【１】

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=3a_n-2n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$がある．このとき

(1)　

$a_{n+1}-\alpha (n+1)-\beta =3(a_n-\alpha n-\beta )$

をみたす定数$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【２】　曲線$C:y=x^3$と，$C$上の点$\mathrm{A}(1,1)$における接線$l$を考える．点$\mathrm{P}(a,a^3)$を通り，接線$l$と直交する直線$g$をひき，$l$と$g$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$a$は$-2\leqq a\leqq 1$をみたすものとする．このとき，

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

(3)　(2)で定まる直線$g$と接線$l$および曲線$C$で囲まれる$2$つの図形のうち，線分$\mathrm{PQ}$の右上側にある部分の面積を求めよ．

【３】　空間内に，$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}\mathrm{D}(0,0,1)$を頂点にもち，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{DEFG}‐\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CG}\text{，}\mathrm{DE}$上にそれぞれ

$\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}=\mathrm{DR}=t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

となる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとる．

(1)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(3)　$0<t<1$とし，平面$\alpha$と辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{GD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とする．このとき，四角形$\mathrm{PSTR}$の面積は$t$に無関係に一定であることを示せ．

【４】　$xy$平面において，$x^2+y^2\leqq 1$の表す領域を$D$とし，行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$（$a\text{，}b$は実数で，$a^2+b^2\ne 0$）

とする．

(1)　領域$D$を行列$A$で表される$1$次変換によって領域$D^{\prime }$にうつすとき，$D^{\prime }$の面積$S(a,b)$を求めよ．

(2)　$S(a,b)=31\pi$となる整数$a\text{，}b$は存在しないことを示せ．

【５】　実数$a\text{，}b$に対して，関数$f(x)$は次の$3$つの条件(1)，(2)，(3)をみたすものとする．

(1)　$f(x)=a+{\displaystyle {\int }_0^1}(b{x}^3-20xt)f(t)dt\text{，}$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt=1\text{，}$

(3)　$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$で極値をもつ．

　このとき，定数$a\text{，}b$の値および$f(x)$を求めよ．

【６】　空間内に，$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}\mathrm{D}(0,0,1)$を頂点にもち，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{DEFG}‐\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CG}\text{，}\mathrm{DE}$上にそれぞれ

$\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}=\mathrm{DR}=t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

となる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとる．

(1)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$0<t<1$とし，平面$\alpha$と辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{GD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とする．このとき，四角形$\mathrm{PSTR}$の面積は$t$に無関係に一定であることを示せ．

(3)　(2)の四角形$\mathrm{PSTR}$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積の最小値を求めよ．

【７】　$4$個のさいころを$1$度に投げる試行をする．このとき，

(1)　$5$以上の目が$2$個以上出る確率を求めよ．

(2)　$4$つの出た目のうち，大きいものから順に$2$つ選んだとき，その和が$10$以上となる確率を求めよ．

【８】

$a_1=1\text{，}{a}_2=a_3=a_4=3\text{，}{a}_5=a_6=a_7=a_8=a_9=5\text{，}$

$a_{10}=a_{11}=\cdots =a_{16}=7\text{，}\cdots$

で定義される数列$\{a_n\}$がある．このとき，

(1)　自然数$n$に対して，$a_k=2n-1$をみたす番号$k$のとる値の範囲を求めよ．

(2)　$a_{1996}$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$において，初項から第$n^2$項までのうち，奇数番目の項全体の和$S$を求めよ．

【９】　微分可能な関数$f(x)$は，等式

${\displaystyle {\int }_0^x}f(x)dt=e^x-1+{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)f(t)dt$

をみたすとする．

(1)　$f(x)=e^{x}g(x)$とおいたとき，$g(x)$を求めよ．

(2)　実数$a$に対して，方程式$f(x)=a$をみたす実数解の個数を求めよ．

【10】　平面上の変換$f\text{，}g\text{，}h$をそれぞれ

$f$は点$\mathrm{A}(1,0)$を中心とする${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の回転

$g$は原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の回転

$h$は直線$y=x$に関する対称移動

とする．

(1)　変換$f$によって，平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が点$\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$にうつされるとするとき

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}t\\ u\end{array}\right)$

をみたす定数$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s\text{，}t\text{，}u$を求めよ．

(2)　合成変換$g\circ f$によって動かない点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　合成変換$h\circ f$によって，ある傾き$m$の直線は，同じ傾き$m$の直線にうつされる．傾き$m$の値を求めよ．

【11】　かたよりのある$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$つのタイプの硬貨を考える．$\mathrm{A}$タイプの硬貨は表の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{100}}\text{，}$裏の出る確率が${\displaystyle \frac{99}{100}}$で，$\mathrm{B}$タイプの硬貨は表の出る確率が${\displaystyle \frac{99}{100}}\text{，}$裏の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{100}}$である．袋の中に，$\mathrm{A}$タイプの硬貨$99$枚，$\mathrm{B}$タイプの硬貨$1$枚が入っている．

(1)　袋の中から硬貨を$1$枚とって投げたとき，表の出る確率を求めよ．

(2)　袋の中から硬貨を$1$枚とって投げたとき，表が出たものとする．その硬貨をもう一度投げたとき，表の出る確率を求めよ．

(3)　袋の中から硬貨を$1$枚とって$n$回投げたとき，$n$回とも表が出たものとする．その硬貨をもう一度投げたとき，表の出る確率を求めよ．

【12】　$xy$平面において，$x^2+y^2\leqq 1$の表す領域を$D$とし，行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$（$a\text{，}b$は実数で，$a^2+b^2\ne 0$）

とする．

(1)　領域$D$を行列$A$で表される$1$次変換によって領域$D^{\prime }$にうつすとき，$D^{\prime }$の面積$S(a,b)$を求めよ．

(2)　$S(a,b)=31\pi$となる整数$a\text{，}b$は存在しないことを示せ．

(3)　$r$を正の偶数とするとき，$S(a,b)=\pi r^2$となる整数$a\text{，}b$に対して，

$2ab\leqq r^2-4$

が成り立つことを示せ．

【13】　空間内に，原点を中心とし半径$r$の上半球

$S:x^2+y^2+z^2=r^2\text{，}z\geqq 0$

がある．いま，平面$x=t\text{（}|t|\leqq r\text{）}$上に，正三角形$\mathrm{PQR}$を考える．頂点$\mathrm{P}$は$x$軸上にあり，$2$頂点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は$S$上にあって，辺$\mathrm{QR}$が$y$軸に平行であるという．

(1)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$t$を用いて表せ．

(2)　頂点$\mathrm{P}$が$S$の直径上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が動いてできる立体の体積を求めよ．

【14】　$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}\mathrm{C}(1,0,1)$に対して，動点$\mathrm{P}(x,y,y,z)$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=l\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}+n\overrightarrow{\mathrm{OC}}$（$l\text{，}m\text{，}n$は実数）

で定める．

(1)　$l\text{，}m\text{，}n$が$l-m+2n=1$をみたすとき，点$\mathrm{P}$のえがく図形を表す式を求めよ．

(2)　$l\text{，}m\text{，}n$が$l+m+n=1\text{，}l\geqq 0\text{，}m\geqq 0\text{，}n\geqq 0$をみたすとき，点$\mathrm{P}$のえがく図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$l\text{，}m\text{，}n$が$l+m+n\leqq 3\text{，}l\geqq m\geqq n\geqq 0$をみたすとき，点$\mathrm{P}$のえがく図形の体積$V$を求めよ．

【15】

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|t-x|\sin tdt$

とする．このとき，

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

志望別問題選択一覧

代数幾何，基礎解析

　文学部　行動科学科，教育学部　小学校教員養成課程，中学校教員養成課程，技術科専攻，養護学校教員養成課程，幼稚園教員養成課程，法経学部，園芸学部　園芸経済学科【１】，【２】，【３】，【４】

代数幾何，基礎解析，確率・統計

　理学部　生物学科　工学部Aコース・Bコース　建築学科，園芸学部　生物生産学科，緑地・環境学科　【３】，【４】，【５】，【７】

代数幾何，基礎解析，微分・積分，確率・統計

　理学部　物理学科，化学科，医学部，薬学部，工学部Aコース・Bコース　機械工学科，情報工学科，電気電子工学科　【４】，【６】，【８】，【９】，【11】

　教育学部・中学教員養成課程　数学科専攻　【６】，【７】，【８】，【９】，【12】，【13】

　理学部　数学・情報数理学科　【８】，【９】，【10】，【11】，【14】，【15】