1996　東京大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$が

$X^2-2X+aE=O$

をみたすような実数$x\text{，}y$を求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の数とする．不等式

$\{\begin{array}{l}s(1-a)-tb>0\\ -sc+t(1-d)>0\end{array}$

を同時にみたす正の数$s\text{，}t$があるとき，$2$次方程式

$x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$

は$-1<x<1$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

【３】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,b)$に対し，正方形$S(\mathrm{P})$を連立不等式

$|x-a|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}|y-b|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

の表す領域として定め，原点と$S(\mathrm{P})$の点との距離の最小値を$f(\mathrm{P})$とする．点$(2,1)$を中心とする半径$1$の円周上を$\mathrm{P}$が動くとき，$f(\mathrm{P})$の最大値を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，点$\mathrm{P}$を$(1,0,1)\text{，}$点$\mathrm{Q}$を$(a,a+1,0)$とする．線分$\mathrm{PQ}$を$z$軸のまわりに$1$回転して得られる曲面と平面$z=1$および$xy$平面で囲まれる部分の体積を$V(a)$とおく．$a$が実数全体を動くときの$V(a)$の最小値およびそれを与える$a$の値を求めよ．

【１】　$xy$平面において，行列$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とし，点$(1,0)$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{3}}$の円を$C$とする．$f$による$C$の像が直線$x={\displaystyle \frac{2}{3}}$に接し，かつ領域$D=\{(x,y)|x>0\}$に含まれるような$(a,b)$全体のなす図形を$ab$平面上に図示せよ．

【３】　空間内の点$\mathrm{O}$を中心とする一辺の長さが$l$の立方体の頂点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_8$とする．また，$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面を$S$とする．

(1)　$S$上のすべての点から${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_8$のうち少なくとも$1$点が見えるための必要十分条件を$l$と$r$で表せ．

(2)　$S$上のすべての点から${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_8$のうち少なくとも$2$点が見えるための必要十分条件を$l$と$r$で表せ．

　ただし，$S$上の点$\mathrm{P}$から${\mathrm{A}}_k$が見えるとは，${\mathrm{A}}_k$が$S$の外側にあり，線分$\mathrm{P}{\mathrm{A}}_k$と$S$との共有点が$\mathrm{P}$のみであることとする．

【４】　$1$つのサイコロを続けて投げて，それによって$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を以下のように定める．

出た目の数を順に$c_1\text{，}{c}_2\text{，}\cdots$とするとき，

$1\leqq k\leqq n-1$をみたすすべての整数$k$に対し$c_k\leqq c_n$ならば，$a_n=c_n$，

それ以外のとき$a_n=0$とおく．ただし，$a_1=c_1$とする．

(1)　$a_n$の期待値を$E(n)$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }E(n)$を求めよ．

(2)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$のうち$2$に等しいものの個数の期待値を$N(n)$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }N(n)$を求めよ．

【５】　$xyz$空間内の円柱$x^2+y^2=R^2\text{，}R>0$を側面とする容器に，水面が$z=0$と一致するように$z\leqq 0$の部分に水がはいっている．

　$z\geqq 0$に対して定義された連続な関数$r(z)$で

$r(0)=0\text{，}0\leqq r(z)<R$

をみたすものを考える．$xz$平面内の不等式

$0\leqq x\leqq r(z)\text{，}z\geqq 0$

で表される領域を$z$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を毎秒$1$の速さで下に動かすと，$t$秒後には水面が$z=f(t)$に上昇するという．

　$t\geqq 0$に対し，$f(t)=e^t-t-1$であるとき，関数$r(z)$を決定せよ．

【６】　$\alpha \text{，}\beta$を正の数とし，$xy$平面において，だ円

$C:{\displaystyle \frac{x^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{(y-\sqrt{\beta })}^2}{\beta }}=1$

と領域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq 1\}$を考える．

(1)　$C$が$D$に含まれるような点$(\alpha ,\beta )$の範囲を求め，$\alpha \beta$平面上に図示せよ．

(2)　点$(\alpha ,\beta )$が(1)で求めた範囲を動くとき，だ円$C$の面積の最大値を求めよ．