1996　東京工業大学　前期MathJax

1996　東京工業大学　前期

配点60点

易□　並□　難□

【１】　 $2$ 以上の整数 $n$ に対して方程式

$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = x_{1} x_{2} \dots x_{n}$

の正の整数解 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ を考える．ただし，たとえば $(1, 2, 3)$ と $(3, 2, 1)$ は異なる解とみなす．このとき次の問に答えよ．

(1)　 $n = 2$ および $n = 3$ のときの解をすべて求めよ．

(2)　解が $1$ つしかないような $n$ をすべて求めよ．

(3)　任意の $n$ に対して解は少なくとも $1$ つ存在し，かつ有限個しかないことを示せ．

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配点60点

易□　並□　難□

【２】　 $p = \cos θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ とし， $q ， r ， s$ を正数とする．また，行列 $A$ を

$A = (\begin{matrix} p & - q \\ r & s \end{matrix})$

とする． $A$ で表される $1$ 次変換により，だ円 $C :$

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ただし $a ， b > 0$ ）

上の点は $C$ 上の点にうつるものとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　行列 $A$ を $θ ， a ， b$ を用いて表せ．

(2)　自然数 $n$ に対し $A^{n}$ を求めよ．

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配点60点

易□　並□　難□

【３】　関数 $f (x) = p x^{7} (x - α) (x - β)$ が $x = 1$ で極値 $1$ をとり，さらに $x$ 軸と曲線 $y = f (x)$ で囲まれ面積が有限な $2$ つの部分の面積が等しいとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　 $0 < α < β$ のとき $f (x)$ を求めよ．

(2)　 $α < 0 < β$ のとき $f (x)$ を求めよ．

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配点70点

易□　並□　難□

【４】　関数 $f (x)$ は微分可能で次の(イ)，(ロ)，(ハ)をみたすものとする．

(イ)　 $x ≧ 0$ のとき $f^{'} (x) > 0 ，$

(ロ)　 $f (0) = a$ （ただし， $a > 1$ ），

(ハ)　曲線 $y = f (x)$ 上の点 $P (t, f (t)) （ t ≧ 0 ）$ における接線と $x$ 軸との交点を $Q ，$ 法線と $x$ 軸との交点を $R$ としたとき，線分 $QR$ の長さ $F (t)$ は関係式

$\frac{F (t)}{f (t)} = \frac{f (t)}{f^{'} (t)}$

をみたす．

このとき次の問に答えよ．

(1)　 $x > 0$ で $f^{'} (x)$ は単調増加で， $h > 0$ に対し

$f (x + h) - f (x) ≧ \sqrt{a - 1} h$

をみたすことを示せ．

(2)　点 $P$ が曲線 $y = f (x) （ x ≧ 0 ）$ 上を動くとき $F (t)$ の最小値を求めよ．