1996　電気通信大学　A前期MathJax

【１】　区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で定義された関数$f(x)=3-2\cos x-{\cos }^{2}x$について次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減および凹凸を調べ，曲線$y=f(x)$の概形を描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$2$点$(1,0)\text{，}(3,0)$からの距離の和が$4$となる点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を$E$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$E$の方程式を求めよ．

(2)　$E$と$x$軸の交点を求めよ．

(3)　$E$を$y$軸上に中心を持つ半径$1$の円に移す$1$次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$をすべて求めよ．

【３】　$a$を$0$でない定数として，行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{a}}\end{array}\right)$と定めるとき次の問いに答えよ．

(1)　$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)={(A+A^{-1})}^n$と定めるとき$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を求めよ．

(3)　$p_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求め，数列$\{p_n\}$の収束，発散を調べよ．

【４】　$xyz$空間において点$\mathrm{P}(2,1,2)$を通り直線${\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-1}}={\displaystyle \frac{z-5}{1}}$を含む平面を$\alpha \text{，}$原点を中心とし半径$3$の球面を$S$とする．また$\alpha$と$S$の交点のつくる円を$C$とするとき次の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　原点と平面$\alpha$との距離を$h\text{，}$円$C$の半径を$r$とする．$h\text{，}r$を求めよ．

(3)　点$(1,1,1)$を通り$C$を含む球面$S^{\prime }$の中心$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^2-4\log x+3}{x}}\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べ極値を求めよ．また曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【６】　$n$を$3$以上の整数として，半径$1$の円$C$の内部に円$C$と接する半径の等しい$n$個の円$A_1\text{，}{A}_2\text{，}\cdots \text{，}{A}_n$を順にならべる．ただし，$A_1$は$A_n\text{，}{A}_2$に外接し，各円$A_j$は隣りあう円$A_{j-1}\text{，}{A}_{j+1}$と外接するものとする（$2\leqq j\leqq n-1$）．

(1)　$n$個の円$A_1\text{，}{A}_2\text{，}\cdots \text{，}{A}_n$の面積の総和$S_n$を求めよ．

(2)　極限値$T=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot S_n$を求めよ．