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1996-10272-0101
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1996 一橋大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】(1) 2 つの自然数の組 (a ,b) は,条件
a<b かつ 1a+ 1b < 14
をみたす.このような組 (a ,b) のうち, b の最も小さいものをすべて求めよ.
(2) 3 つの自然数の組 (a ,b,c ) は,条件
a<b< c かつ 1a+ 1b + 1c< 13
をみたす.このような組 (a ,b,c ) のうち, c の最も小さいものをすべて求めよ.
1996-10272-0102
【2】 一次変換 f と点 P (1 ,0) に対し Q =f⁡( P) ,R =f⁡( Q) とおくと,点 Q は y 軸上にあり f⁡( R) =P である.
(1) 平面上の任意の点 S に対し, f⁡( f⁡( f⁡( S) )) =S となることを示せ.
(2) ▵PQR が二等辺三角形となるとき,一次変換 f を表す行列を求めよ.
1996-10272-0103
【3】 y 軸上の点 (0 ,a) を中心とする半径 r の円は,放物線 y= 1 2⁢ x 2 と異なる 2 つの点で接する.すなわち 2 つの共有点を持ち,おのおのの共有点で,円に引いた接線と放物線に引いた接線とが一致する.
(1) このような円が存在する r の範囲を求めよ.
(2) a を r で表せ.
(3) r=2 のとき,円と放物線とで囲まれる部分の面積を求めよ.
1996-10272-0104
【4】 三角すい ABCD が ▵BCD を底面にして,机の上に置かれている.辺の長さをそれぞれ
AB=1 ,AC= 2 ,AD= 5 ,BC= 3 ,BD= 6 ,CD=3
とする.
(1) 三角すい ABCD の体積を求めよ.
(2) 三角すい ABCD を,辺 CD を軸として,頂点 A が机につくまで回転させるとき,三角すいが通過する部分の体積を求めよ.
1996-10272-0105
【5】 正四面体 ABCD の辺上を動くアリは,頂点を訪れた 1 秒後に他の頂点のいずれかをおのおの確率 13 で訪れる.最初に頂点 A にいるアリをその n 秒後まで観察する.
(1) 頂点 A , B は訪れているが,頂点 C , D は訪れていない確率 p n を求めよ.
(2) 頂点 A , B ,C は訪れているが,頂点 D は訪れていない確率 q n を求めよ.
(3) 全頂点を訪れる確率 r n を求めよ.
ただし,(1),(2),(3)とも,最初にいる頂点 A は,訪れた頂点として考える.