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1996 一橋大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1)  2 つの自然数の組 (a ,b) は,条件

a<b かつ 1a+ 1b < 14

をみたす.このような組 (a ,b) のうち, b の最も小さいものをすべて求めよ.

(2)  3 つの自然数の組 (a ,b,c ) は,条件

a<b< c かつ 1a+ 1b + 1c< 13

をみたす.このような組 (a ,b,c ) のうち, c の最も小さいものをすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 一次変換 f と点 P (1 ,0) に対し Q =f( P) R =f( Q) とおくと,点 Q y 軸上にあり f( R) =P である.

(1) 平面上の任意の点 S に対し, f( f( f( S) )) =S となることを示せ.

(2)  PQR が二等辺三角形となるとき,一次変換 f を表す行列を求めよ.

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【3】  y 軸上の点 (0 ,a) を中心とする半径 r の円は,放物線 y= 1 2 x 2 と異なる 2 つの点で接する.すなわち 2 つの共有点を持ち,おのおのの共有点で,円に引いた接線と放物線に引いた接線とが一致する.

(1) このような円が存在する r の範囲を求めよ.

(2)  a r で表せ.

(3)  r=2 のとき,円と放物線とで囲まれる部分の面積を求めよ.

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【4】 三角すい ABCD BCD を底面にして,机の上に置かれている.辺の長さをそれぞれ

AB=1 AC= 2 AD= 5 BC= 3 BD= 6 CD=3

とする.

(1) 三角すい ABCD の体積を求めよ.

(2) 三角すい ABCD を,辺 CD を軸として,頂点 A が机につくまで回転させるとき,三角すいが通過する部分の体積を求めよ.

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【5】 正四面体 ABCD の辺上を動くアリは,頂点を訪れた 1 秒後に他の頂点のいずれかをおのおの確率 13 で訪れる.最初に頂点 A にいるアリをその n 秒後まで観察する.

(1) 頂点 A B は訪れているが,頂点 C D は訪れていない確率 p n を求めよ.

(2) 頂点 A B C は訪れているが,頂点 D は訪れていない確率 q n を求めよ.

(3) 全頂点を訪れる確率 r n を求めよ.

 ただし,(1),(2),(3)とも,最初にいる頂点 A は,訪れた頂点として考える.

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