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1996 横浜国立大学 後期

経営学部

易□ 並□ 難□

【1】 方程式

sinx+ sin2 x+sin 3x= cosx+ cos2 x+cos 3x

の正の解のうちで最小のものを α とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  α の値を求めよ.

(2)  tanα+ tan2 α+tan 3α の値を求めよ.

1996 横浜国立大学 後期

経営学部

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の 1 次変換 f 2 直線

l1: y=x

l2: y=x+ 1

について,次の問いに答えよ.

(1) 「 l 1 上のどの点も f によって l 1 上に移るならば l 2 上のどの点も f によって l 2 上に移る」というのは,つねに正しいか.理由を述べて答えよ.

(2) 「 l 2 上のどの点も f によって l 2 上に移るならば l 1 上のどの点も f によって l 1 上に移る」というのは,つねに正しいか.理由を述べて答えよ.

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経営学部

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { xn} x 1= 13 x2 =1 7 と関係式

xn+ 2= xn+ 1 xn4 xn +1 xn-6 xn+ 1+5 xn n=1 2 3

を満たしているとき,次の問いに答えよ.

(1)  yn= 1 xn+a とおいたとき,関係式

yn+ 2=b yn+ 1+c yn n= 1 2 3

が得られた.このような定数 a b c の値を求めよ.

(2)  xn n の式で表せ.

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経営学部

易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えよ.

(1)  x の値にかかわらず,定積分

- 11 ( | t-sinx |+ |t -cosx | )d t

の値は一定であることを示せ.

(2)  x がすべての実数値をとるとき,定積分

- 11 ( | t-sinx | cosx+ |t -cosx | )d t

の最大値と最小値を求めよ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【1】  x>0 で定義された曲線 C: y=f (x ) がある. C 上の点 (x ,f( x) ) における接線が y 軸と交わる点と点 ( x,0 ) を通る直線はつねに定点 ( -1,2 ) を通る.次の問いに答えよ.

(1)  f( x) の満たす微分方程式を求めよ.

(2)  f( x)= xg (x ) とおくとき, g( x) を求めよ.

(3)  f( 1)= 2log 2 であるとき, limx f( x) を求めよ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に 4 つのベクトル

an = ( cosn θsin nθ ) n=1 2 3 4

がある.ただし, 0<θ< π 2 とする.次の問いに答えよ.

(1)  a1 + a2 +a 3 +a4 がベクトル ( 1 1 ) の定数倍となるような θ の値を求めよ.

(2) (1)で求めた θ に対して, tanθ tan2 θtan 3θ tan4 θ の値を求めよ.

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工学部

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【3】 数列 { an } が, a1= 1 a2= 1 3 a3 = 19 と関係式

an+ 3= 13 a n+2 + 59 a n+1 + 19 an n= 1 2 3

を満たすとき,次の問いに答えよ.

(1)  pa n+2 +q an+1 +an =p a3+q a2 +a1 がつねに成り立つような定数 p q を求めよ.

(2) (1)で求めた q に対して, q2 an+ 1+ an n の式で表せ.

(3)  an n の式で表せ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【4】  xyz 空間内の 3 A (4 3, 0,0) B (0 ,4,0 ) C( 0,0, 2) を通る平面 α は無限に広い鏡であるとする.点 D ( 0,0, 1) に点光源を置くとき,次の問いに答えよ.

(1) 平面 α に関して点 D と対称な点 E の座標を求めよ.

(2)  D を出た光線が平面 α 上の点 P で反射した後に xy 平面上の点 Q に到るとする. DP+PQ が最小となるような点 P の座標を求めよ.

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工学部

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【5】 原点 O xy 平面上に点 A (0 ,1) と曲線 C :y= x2 0<x< 1 がある. C 上の点 P (t ,t2 ) に対して, θ= OAP とおく.線分 OA AP と曲線 C とで囲まれた図形の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  S t の式で表せ.

(2)  tanθ t の式で表せ.

(3)  d Sdθ が最小となるような θ に対する tan θ を求めよ.

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