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1996-10301-0201
1996 横浜国立大学 後期
経営学部
易□ 並□ 難□
【1】 方程式
sin⁡x+ sin⁡2⁢ x+sin⁡ 3⁢x= cos⁡x+ cos⁡2⁢ x+cos⁡ 3⁢x
の正の解のうちで最小のものを α とするとき,次の問いに答えよ.
(1) α の値を求めよ.
(2) tan⁡α+ tan⁡2⁢ α+tan⁡ 3⁢α の値を求めよ.
1996-10301-0202
【2】 xy 平面上の 1 次変換 f と 2 直線
l1: y=x
l2: y=x+ 1
について,次の問いに答えよ.
(1) 「 l 1 上のどの点も f によって l 1 上に移るならば l 2 上のどの点も f によって l 2 上に移る」というのは,つねに正しいか.理由を述べて答えよ.
(2) 「 l 2 上のどの点も f によって l 2 上に移るならば l 1 上のどの点も f によって l 1 上に移る」というのは,つねに正しいか.理由を述べて答えよ.
1996-10301-0203
【3】 数列 { xn} が x 1= 13 ,x2 =1 7 と関係式
xn+ 2= xn+ 1⁢ xn4 ⁢xn +1⁢ xn-6 ⁢xn+ 1+5 ⁢xn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たしているとき,次の問いに答えよ.
(1) yn= 1 xn+a とおいたとき,関係式
yn+ 2=b ⁢yn+ 1+c ⁢yn ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯ )
が得られた.このような定数 a ,b ,c の値を求めよ.
(2) xn を n の式で表せ.
1996-10301-0204
【4】 次の問いに答えよ.
(1) x の値にかかわらず,定積分
∫- 11 ⁡( | t-sin⁡x |+ |t -cos⁡x | )⁢d t
の値は一定であることを示せ.
(2) x がすべての実数値をとるとき,定積分
∫- 11 ⁡( | t-sin⁡x |⁢ cos⁡x+ |t -cos⁡x | )⁢d t
の最大値と最小値を求めよ.
1996-10301-0205
工学部
【1】 x>0 で定義された曲線 C: y=f⁡ (x ) がある. C 上の点 (x ,f⁡( x) ) における接線が y 軸と交わる点と点 ( x,0 ) を通る直線はつねに定点 ( -1,2 ) を通る.次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の満たす微分方程式を求めよ.
(2) f⁡( x)= x⁢g⁡ (x ) とおくとき, g⁡( x) を求めよ.
(3) f⁡( 1)= 2⁢log⁡ 2 であるとき, limx→ ∞⁡ f⁡( x) を求めよ.
1996-10301-0206
【2】 平面上に 4 つのベクトル
an →= ( cos⁡n⁢ θsin ⁡n⁢θ ) ( n=1 ,2 ,3 ,4 )
がある.ただし, 0<θ< π 2 とする.次の問いに答えよ.
(1) a1 →+ a2→ +a 3→ +a4 → がベクトル ( 1 1 ) の定数倍となるような θ の値を求めよ.
(2) (1)で求めた θ に対して, tan⁡θ⁢ tan⁡2⁢ θ⁢tan ⁡3⁢θ ⁢tan⁡4 ⁢θ の値を求めよ.
1996-10301-0207
【3】 数列 { an } が, a1= 1, a2= 1 3 ,a3 = 19 と関係式
an+ 3= 13⁢ a n+2 + 59⁢ a n+1 + 19⁢ an ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯)
を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) p⁢a n+2 +q⁢ an+1 +an =p⁢ a3+q ⁢a2 +a1 がつねに成り立つような定数 p ,q を求めよ.
(2) (1)で求めた q に対して, q2 ⁢ an+ 1+ an を n の式で表せ.
(3) an を n の式で表せ.
1996-10301-0208
【4】 xyz 空間内の 3 点 A (4 ⁢3, 0,0) ,B (0 ,4,0 ), C( 0,0, 2) を通る平面 α は無限に広い鏡であるとする.点 D ( 0,0, 1) に点光源を置くとき,次の問いに答えよ.
(1) 平面 α に関して点 D と対称な点 E の座標を求めよ.
(2) D を出た光線が平面 α 上の点 P で反射した後に xy 平面上の点 Q に到るとする. DP+PQ が最小となるような点 P の座標を求めよ.
1996-10301-0209
【5】 原点 O の xy 平面上に点 A (0 ,1) と曲線 C :y= x2 ( 0<x< 1 ) がある. C 上の点 P (t ,t2 ) に対して, θ=∠ OAP とおく.線分 OA , AP と曲線 C とで囲まれた図形の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.
(1) S を t の式で表せ.
(2) tan⁡θ を t の式で表せ.
(3) d Sdθ が最小となるような θ に対する tan ⁡θ を求めよ.