1996　金沢大学　A前期MathJax

【１】　$f(x)={(x-a)}^2(x+a)$について，

(1)　$x=1$で$f(x)$は極小値をとる．このときの$a$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた正の$a$に対して，曲線$y=f(x)$と直線$y=f(1)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$2$平面

${\pi }_1\text{：}x+y+z=1\text{，}{\pi }_2\text{：}x-y+z=0$

の交線を$l$とする．また，点$\mathrm{P}(1,0,1)$を中心とし，${\pi }_2$に接する球面と${\pi }_1$とが交わってできる円$C$の中心を$\mathrm{Q}\text{，}$半径を$r$とする．

(1)　交線$l$の方程式を媒介変数$t$を用いて表せ．

(2)　円$C$の中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$を求めよ．

【３】　関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x\ne 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　原点のまわりに，$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$を$-45\mathrm{°}$回転したときの方程式を求めよ．

(2)　$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$の焦点の座標$(x,y)$を求めよ．

(3)　$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフと，その焦点を通って直線$y=x$に垂直な直線とで囲まれる図形を$T$とする．$T$を直線$y=x$のまわりに$1$回転させてできる図形の体積を求めよ．

【１】　定数$a\text{，}r\text{（}0<r<1\text{）}$に対して，行列$A=\left(\begin{array}{cc}r& a-r\\ 0& -r\end{array}\right)$で表される$xy$平面上の$1$次変換を$f$とする．$f$によって点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$に移されるとき$\mathrm{Q}=f(\mathrm{P})$と表すこととする．

${\mathrm{P}}_0=(1,1)\text{，}{\mathrm{P}}_n=f({\mathrm{P}}_{n-1})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．また，$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，三角形$▵{\mathrm{P}}_{2k}{\mathrm{P}}_{2k+1}{\mathrm{P}}_{2k+2}$の面積を$S_k$とする．ただし，$3$点${\mathrm{P}}_{2k}\text{，}{\mathrm{P}}_{2k+1}\text{，}{\mathrm{P}}_{2k+2}$が同一直線上にあるときには，$S_k=0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(2)　$S_0$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k+0}^{\infty }}{S}_k$は収束することを示し，その和を$a\text{，}r$を用いて表せ．

【２】　$0\leqq x\leqq 1$を定義域とする関数$f(x)$を次の式で与える．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}})\\ 2(1-x)& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1)\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を$n$回合成したものを$f_n(x)$と表すとき，$f(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_{2^n}(x)$のグラフをかけ．

(2)　関数$g_n(x)$を$g_n(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{2}}+{\displaystyle \frac{f_2(x)}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{f_{2^n}(x)}{2^{n+1}}}$で定義する．$y=g_n(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$L_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}\text{，}{E}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}-\log (n+1)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{t}{k(k+t)}}dt$を求めよ．

(2)　$E_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{L}_n$を証明せよ．

(3)　$L_n<2$を証明せよ．

【４】　時刻$S$および$S+T$で，粒子がそれぞれ$1$個ずつ発生している．ここで$S\text{，}T$は確率変数で，その確率分布は次で与えられる：$C>0\text{，}0<r<1$で$m$は自然数とするとき，

$P(S=j)=P(T=j)=C{r}^j\text{（}j=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}m\text{）}$

さらに，$i\text{，}j=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}m$に対し，事象$\{S=i\}$と$\{T=j\}$は独立であるとする．このとき，

(1)　$C$を$r$と$m$とを用いて表せ．

(2)　$j=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2m$に対し，$P(S+T=j)$を求めよ．

(3)　$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2m$に対し，時刻$k$で$2$個の粒子が存在している確率を求めよ．