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1996-10361-0201
1996 金沢大学 後期
理(数)学部
易□ 並□ 難□
【1】 点 P ( 0,1 ) を通り,曲線
C:y =x3 -3⁢ x2+ 2⁢x+ 1
に接する 2 本の直線を l1 ,l2 とする.また, 1 次変換 f は 2 直線 l1 ,l2 をそれぞれ l2 ,l1 に移すとする.
(1) l1 , l2 の方程式を求めよ.
(2) f を表す行列 A を求めよ.
(3) 原点と異なる点 Q ( a,0 ) を通る直線で, f によってそれ自身に移されるものがただ 1 つ存在することを示し,その直線の方程式を a を用いて表せ.
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【2】 0<a <1 とし, 3 点 O ( 0,0 ), P (1 ,a) ,Q ( 2,4 ) に対し,線分 OP と線分 PQ からなる折れ線をグラフにもつ閉区間 [ 0,2 ] 上の関数を, y=f a⁡( x) とする.
(1) y=f a⁡( x) と y =x2 のグラフの交点を求めよ.
(2) S⁡( a)= ∫ 02 |x 2-f a⁡( x) |⁢ dx を最小にする a を求め,このときの S ⁡( a) の値を求めよ.
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【3】 2 以上の整数 a1 ,a 2 ,⋯ , an に対して, b1 , b2 , ⋯ , bn を,
b1 =a1 , b2 =a2 - 1b1 ,⋯ , bn =an - 1bn -1
によって定める.
(1) bn ≧ k+1 k ( k=1 , 2 ,⋯ , n ) を示せ.
(2) 積 b1⋅ b2⋅ ⋯⋅b n ( k=1 , 2 ,⋯ , n ) は整数であることを示せ.
(3) b1 ⋅b2 ⋅⋯ ⋅bn -1= 25 ,b 1⋅b 2⋅⋯ ⋅bn =31 となる n と a1 ,a 2 ,⋯ , an を求めよ.
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【4】(1) 自然数 n と正数 a , b に対して,次の等式が成り立つことを示せ.
n⁢a ⁢( a+b) n-1 = ∑k =1n k⁢ Ck n ⁢ak ⁢bn -k
(2) 1 個のさいころを m 回投げて, k 回目( k =1 ,2 , ⋯ ,m )に出た目の数を X k とする.各 k =1 ,2 , ⋯ ,m に対して,数直線の閉区間 [ 5⁢k, 5⁢k+ Xk ] を赤色に塗る.このとき,赤色に塗られた集合は, 1 個の閉区間になるか,または互いに共通点を持たない有限個の閉区間の和集合と表される.その閉区間の個数を Y n とする.
(ⅰ) 確率変数 Y 3 の確率分布を求めよ.
(ⅱ) 確率変数 Y m の期待値を求めよ.