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1996 信州大学 前期 経済・理学部

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【1】  xy 座標平面上で 3 O (0 ,0) A (2 ,0) B (0 ,2) を頂点とする三角形を x 軸方向に p -2 p1 だけ平行移動してできる三角形が,帯状領域 D ={( x,y) ;0x 1} と重なる部分の面積を S =S( p) またこの三角形の各辺と D の重なる部分の長さの和を l =l( p) とする.

(1) 関数 S= S( p) を求め,そのグラフの概形を描け.

(2) 関数 l= l( p) を求め,そのグラフの概形を描け.

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1996年信州大前期教育学部【2】の図

【2】  xyz 座標空間において原点を O( 0,0, 0) とする. 3 A ( 1,3 ,0) B (- 1,3 ,0) D (0 ,3, 0) をとる. O A B 3 頂点として,第 4 の頂点 C z 座標が正となるような正四面体 OABC を考える.

(1) 点 C の座標を求めよ.

(2) 右図のように,三角形 ODC 上に O を中心とする半径 1 の円弧 EF がある.動点 P EF 上を動くとき, 2 つのベクトル PA PC の内積の最大値,最小値を求めよ.

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【3】  f( x) x 0 で定義された以下の性質を持つ関数とする.

{ f( x)=x (1 -x) 0x 1 f( x+1) =1 2 f( x) x 0

(1)  1x 2 のとき, f( x) を求めよ.

(2) 任意の自然数 n に対し, nx n+1 のとき, f( x) を求めよ.

(3)  In= 0n f( x) dx n=1 2 を求めよ.

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【4】  n を自然数とするとき,

0nπ (x2 +cn ) | sinx | dx= 23 n3 π2

となる定数 c を求めよ.

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【5】  4 次関数 y= f( x) 1 2 52 で極値をもち,そのグラフは原点を通り,曲線 C :y=8 (1 -sin π x2 ) x =4 で交わる.

(1)  f( x) を求めよ.

(2)  y=f (x) y 軸と曲線 C で囲まれる部分の面積 S を求めよ.

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【6】  3 つのサイコロを同時に投げたとき,出る目の積を考える.

(1)  3 つの目の数がどれも 4 以下で,これらの積が 40 以下となる確率を求めよ.

(2)  3 つの目の数の積が 40 以下となる確率を求めよ.

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