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1996-10421-0301
1996 信州大学 前期 工学部
基礎解析
易□ 並□ 難□
【1】 一辺の長さが a の正三角形 P 1Q 1R 1 の内接円を C 1 ,▵P 1Q 1R 1 と円 C 1 の接点を P2 , Q 2 ,R 2 とし, ▵P 2Q 2R 2 の内接円を C 2 とする.これを繰り返し, ▵P nQ nR n の内接円を C n ( n=1 ,2 , ⋯ ) とする.
(1) 円 C n の半径 r n を求めよ.
(2) 円 C n の面積を S n とするとき, ∑ k=1 n⁡ Sk= 455 4096⁢ π ⁢a2 となる n を求めよ.
1996-10421-0302
【2】 a は定数とする.関数 f ⁡(x )= x3+ 3⁢x 2-6 ⁢a⁢x +1 の -1 ≦x≦1 における最小値を求めよ.
1996-10421-0303
代数・幾何
【1】 2 点 F (1 ,0) ,F ′( -1,0 ) を焦点とするだ円 x2a 2+ y 2b2 =1 ( a> b>0 ) 上の第 1 象限の部分に点 P をとり, P から x 軸におろした垂線の足を Q とする. ▵OPQ の面積を最大とする P が PF +P F′ =2⁢ (PO+ PQ) を満たすとき, a ,b の値を求めよ.ただし O は座標の原点である.
1996-10421-0304
【2】 行列 A= ( a2 6b ) で表される 1 次変換により,直線 y =c⁢x +d 上のすべての点が点 ( 4,-2 ) に移るとき,定数 a , b ,c , d の値を求めよ.また,このときだ円 9 ⁢x2 +y2 =1 はこの 1 次変換によりどのような図形に移るか.
1996-10421-0305
微分・積分
【1】 平面上の点列 P n( xn, yn) ( n=1 ,2 ,⋯ ) が
{ xn +1= 14 ⁢ xn+ 45 ⁢ yn yn +1= 34 ⁢ xn+ 15 ⁢ yn
を満たし,点 P 1 は直線 l: x+y= 2 上にあるとする.
(1) 点 P 1 ,P 2, ⋯ はすべて直線 l 上にあることを示せ.
(2) 点列 P 1 ,P 2 ,⋯ はある定点に限りなく近づくことを示せ.
1996-10421-0306
【2】 f⁡( x) は開区間 (0 ,1) で定義された関数で,この区間で f ⁡(x )>0 , f′ ⁡(x )<0 , f″ ⁡( x)≠ 0 を満たすとする.このとき,曲線 y =f⁡( x) 上の任意の点 P ( x,y ) における接線が x 軸, y 軸と交わる点をそれぞれ A , B , 座標の原点を O とすると, OA+OB はつねに一定になるという.
(1) OA+OB を F⁡ (x ) とするとき, F⁡( x)= c ( c は定数)の両辺を x で微分することにより,微分方程式 dyd x= - yx が得られることを示せ.
(2) (1)の微分方程式の解の中で, x= 14 のとき y= 1 4 となるものを求めよ.