1996　信州大学　前期　繊維学部精密素材工学科MathJax

【１】　次の$f(x)$が$-2\leqq x<2$で定義されている．

$f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{(n+1)}}{\displaystyle \frac{1}{2^n}}{x}^n+\cdots$

　次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)=xf(x)$とする時，$g^{\prime }(1)$を求めよ．ただし，$g^{\prime }(x)$は$x=1$における$g(x)$の微分係数である．

(2)　$f(1)-f(-2)$の値を求めよ．

【２】(1)　$f(x)={\sin }^{2}2x$の概形を区間$[-\pi ,\pi ]$の範囲で描け．

(2)　(1)の$f(x)$について，次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)dx$

(3)　(1)の$f(x)$を用い，次の関係を満たす$g(x)$を求めよ．

$g(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}xg(t)dt$

【３】　原点から二つの長さ$A\text{，}B$のベクトルが張られている．$x$軸とのなす角を${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$とする．

(1)　二つのベクトルが作る平行四辺形の面積$S$を求めよ．

(2)　${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$とも一定の角速度${\omega }_1\text{，}{\omega }_2$で$xy$平面内で回転している．平行四辺形の面積は，$t$の関数であり$S(t)$と表される．時刻$t=0$で${\theta }_1=0\text{，}{\theta }_2=0$とする時，$t=0$の次に，平行四辺形の面積が$0$となる$t$を周期$T$とする．${\omega }_1\ne {\omega }_2$として，周期$T$を求めよ．

(3)　平行四辺形の面積の時間平均は，

$\bar{S}={\displaystyle \frac{1}{T}}{\displaystyle {\int }_0^T}S(t)dt$

で与えられる．$\bar{S}$を求めよ．