1996　名古屋大学　後期工学部MathJax

【１】　図に示すように，正$N$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots A_N$が辺${\mathrm{A}}_{N-1}{\mathrm{A}}_N$が直線$l$に重なるようにおく．正$N$角形の中心から頂点までの距離を$a$とする．次の問いに答えよ．

(1)　頂点${\mathrm{A}}_N$を中心に，正$N$角形を左回りに滑らないように回転させ，頂点${\mathrm{A}}_1$が直線$l$に重なるようにする．この回転により$i$番目の頂点${\mathrm{A}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N-1\text{）}$が描く軌跡の長さを求めよ．

(2)　問(1)の操作に引き続き，直線$l$上の頂点${\mathrm{A}}_1$を中心に正$N$角形を左回りに回転させ，頂点${\mathrm{A}}_2$が直線$l$と重なるようにする．このような操作を繰り返すと，正$N$角形は直線$l$にそって滑らずに回転しながら移動する．正$N$角形が$1$回転するとき，頂点${\mathrm{A}}_{N-1}$の描く軌跡の長さ$L_N$を，和の記号${\displaystyle \sum }$を用いて表せ．

(3)　$N\to \infty$のときの長さ$L_N$の極限値を求めよ．

【２】　座標平面上の変換$f\text{：}\mathrm{P}(x,y)\to {\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$を

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

で定める．ここで，$0\leqq \alpha <2\pi$とする．初期点${\mathrm{P}}_0$を原点$\mathrm{O}$にとり，漸化式

${\mathrm{P}}_{n+1}=f({\mathrm{P}}_n)\text{（}n\geqq 0\text{）}$

により，点列${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{，}\cdots$をつくる．次の問いに答えよ．

(1)　変換$f$について，$f(\mathrm{U})=\mathrm{U}$となる点$\mathrm{U}(a,b)$を求めよ．この点を変換$f$の不動点という．

(2)　この不動点$\mathrm{U}$について，

$\left|\overrightarrow{{\mathrm{UP}}_{n+1}}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\overrightarrow{{\mathrm{UP}}_n}\right|\text{，}$$\angle {\mathrm{P}}_n\mathrm{U}{\mathrm{P}}_{n+1}=\alpha \text{（}n\geqq 0\text{）}$

を示せ．

(3)　$a$を変化させたとき，不動点$\mathrm{U}$は円の周上を動くことを示せ．また，その円の中心と半径を求めよ．

(4)　三角形${\mathrm{P}}_n\mathrm{U}{\mathrm{P}}_{n+1}\text{（}n\geqq 0\text{）}$の面積を$S_n\text{，}$その総和を$S={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{S}_n$とする．$\alpha$を変化させたときの$S$の最大値を求めよ．

【３】　$y=x^2$で表される放物線を$y$軸回りに回転させて同じ形の容器を$2$つ作る．これらの容器$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を図に示すように，上下に配置する．容器$\mathrm{A}$の底には小さな穴があいており，底から流出した水が容器$\mathrm{B}$にたまる．時刻$t=0$のとき，容器$\mathrm{A}$の水の深さは$H$であり，容器$\mathrm{B}$は空であった．容器$\mathrm{A}$の水の体積の減少の割合は，毎秒$k{h}_a$（$k$は定数，$h_a$は容器$\mathrm{A}$の水の深さ）であるものと仮定する．水が容器$\mathrm{A}$から容器$\mathrm{B}$に到達するまでの時間は無視する．次の問いに答えよ．

(1)　$t$秒後の容器$\mathrm{A}$の水の深さ$h_a$を求め，$t$と$h_a$の関係を図示せよ．

(2)　$t$秒後の容器$\mathrm{B}$の水の深さ$h_b$を求め，$t$と$h_b$の関係を図示せよ．

(3)　容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$の水面の面積の和が最大になるときの時刻$t$を求めよ．

【４】　最初，点$\mathrm{Q}$は$(x,y)$座標の原点にある．$2$枚の硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を同時に投げて，出た結果によって点$\mathrm{Q}$を移動させていく．硬貨$\mathrm{A}$が表の場合に点$\mathrm{Q}$を$x$座標の正の方向に$1$移動し，裏の場合に負の方向に$1$移動する．同様に，硬貨$\mathrm{B}$が表の場合に$y$座標の正の方向に$1$移動し，裏の場合に負の方向に$1$移動するものとする．ただし硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を投げたとき，表の出る事象は互いに独立であり，その確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．次の問いに答えよ．

(1)　$2$枚の硬貨を$n$回投げたのちに，原点から点$\mathrm{Q}$までの距離が$\sqrt{2}$以内となる確率を求めよ．

(2)　$2$枚の硬貨を$n$回投げたのちに，点$\mathrm{Q}$が原点に存在する確率を$p_n\text{，}$原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上にある確率を$q_n$として，次式を満足する行列$T$を求めよ．

$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$

(3)　$2$枚の硬貨を$n$回投げて点$\mathrm{Q}$を移動させる．点$\mathrm{Q}$の$n$回にわたる移動において，原点から点$\mathrm{Q}$までの距離が一度も$\sqrt{2}$より大きくならない確率を求めよ．