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1996 名古屋工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 たがいに直交する 3 つのベクトルを a= (1, 2,1 ) b = (0, -1,2 ) c =( -5,2 ,1) とし,さらにベクトル d= (p, q,r ) a b との内積がそれぞれ a d =2 b d =-1 であるとする.

(1)  c d の作る平行四辺形の面積 S を求めよ.

(2)  c e = d e =0 で長さが S となるベクトル e= (x, y,z ) を求めよ.

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【2】 行列 cos θ ( cosθ -sinθ sin θcos θ )( 0<θ< π 2) で表される 1 次変換を f とする.点 P0 ( 1,0 ) f による像を P1 P 1 f による像を P2 とする.このようにして次々と P1 P 2 P n をつくる.

(1)  O を原点とするとき,三角形 O Pn -1 P n の周の長さ ln (θ ) と面積 sn (θ ) を求めよ.

(2)  L( θ)= n=1 ln (θ ) S (θ )= n= 1 sn (θ ) を求めよ.

(3)  limθ 0 S( θ) 2L (θ ) を求めよ.

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【3】 円弧 x2+ y2= 1 x>0 y>0 上の点 P ( cosθ ,sinθ ) における接線が x 軸と交わる点を Q また点 R ( 0,1 ) を通り x 軸と平行な直線と交わる点を S とする.

(1)  O を原点とするとき,台形 OQSR の面積 A ( θ) を求めよ.

(2)  A( θ) を最小にする点 P の座標と A ( θ) の最小値を求めよ.

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【4】  2 つの関数

y=sin 2 x (0 x π 2 ) y=sin 3x (0 x π 2 )

の表すグラフをそれぞれ C1 C 2 とする.

(1)  C1 C 2 の原点以外の交点の x 座標を α とするとき, cosα を求めよ.

(2)  0x α において C 1 C 2 で囲まれる図形の面積を S 1 とし, αx π2 において C 1 C 2 と直線 x = π2 で囲まれる図形の面積を S 2 とする. S1 S2 を求めよ.

(3)  8 S1 S 2 の大小を比較せよ.

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