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1996-10483-0101
1996 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 たがいに直交する 3 つのベクトルを a→= (1, 2,1 ) ,b →= (0, -1,2 ), c→ =( -5,2 ,1) とし,さらにベクトル d→= (p, q,r ) は a→ , b→ との内積がそれぞれ a→⋅ d→ =2 ,b →⋅ d→ =-1 であるとする.
(1) c→ ,d → の作る平行四辺形の面積 S を求めよ.
(2) c→ ⋅e →= d→ ⋅e→ =0 で長さが S となるベクトル e→= (x, y,z ) を求めよ.
1996-10483-0102
【2】 行列 cos ⁡θ⁢ ( cos⁡θ -sin⁡θ sin⁡ θcos⁡ θ )( 0<θ< π 2) で表される 1 次変換を f とする.点 P0 ( 1,0 ) の f による像を P1 , P 1 の f による像を P2 とする.このようにして次々と P1 , P 2 ,⋯ , P n ,⋯ をつくる.
(1) O を原点とするとき,三角形 O Pn -1 P n の周の長さ ln⁡ (θ ) と面積 sn⁡ (θ ) を求めよ.
(2) L⁡( θ)= ∑ n=1 ∞ ln⁡ (θ ) と S ⁡(θ )= ∑n= 1∞ sn⁡ (θ ) を求めよ.
(3) limθ →0 S⁡( θ) 2L⁡ (θ ) を求めよ.
1996-10483-0103
【3】 円弧 x2+ y2= 1 ( x>0 , y>0 ) 上の点 P ( cos⁡θ ,sin⁡θ ) における接線が x 軸と交わる点を Q , また点 R ( 0,1 ) を通り x 軸と平行な直線と交わる点を S とする.
(1) O を原点とするとき,台形 OQSR の面積 A ⁡( θ) を求めよ.
(2) A⁡( θ) を最小にする点 P の座標と A ⁡( θ) の最小値を求めよ.
1996-10483-0104
【4】 2 つの関数
y=sin ⁡2⁢ x (0 ≦x≦ π 2 ), y=sin⁡ 3⁢x (0 ≦x≦ π 2 )
の表すグラフをそれぞれ C1 ,C 2 とする.
(1) C1 と C 2 の原点以外の交点の x 座標を α とするとき, cos⁡α を求めよ.
(2) 0≦x ≦α において C 1 と C 2 で囲まれる図形の面積を S 1 とし, α≦x ≦ π2 において C 1 と C 2 と直線 x = π2 で囲まれる図形の面積を S 2 とする. S1 , S2 を求めよ.
(3) 8⁢ S1 と S 2 の大小を比較せよ.