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1996 京都大学 前期

文系,理系共通

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面の原点 O を中心とし半径 1 の円 C 上に定点 A をとる.同じ円上の点 X に対し,平面上の点 Y

OY =OA -2 (OA OX ) OX

で定める.ただし, OA OX OA OX の内積である.このとき

(1)  |OY | =1 であることを示せ.

(2)  OY =-OA となる点 X をすべて求めよ.

(3) 点 X が円 C 1 回まわるとき,点 Y は同じ円を 2 回まわることを示せ.

1996 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  0<a b をみたす実数 a b に対し,数列 { an } {b n}

a1 =a b 1=b an =an -1 bn- 1 bn = an- 1+ bn-1 2 n2

によって定める.

(1) すべての自然数 n に対し, an an +1 bn +1 bn が成り立つことを示せ.

(2) すべての自然数 n に対し

bn+ 1- an+1 18 an ( bn- an) 2

が成り立つことを示せ.

(3)  a=100 b=900 のとき, bn -an <4 をみたす最小の n を求めよ.

1996 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 各成分が 0 以上の整数である行列 A で, A3 =A をみたすものをすべて求めよ.

1996 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】 正の実数 a に対し,実数全体で定義される関数 g (x )

g( x)= -22 | x-t| ( t2- a2 )d t

で定める.このとき, g( x) が最小値を持つような a の範囲を求めよ.また a がそのような範囲にあるとき, g( x) の最小値を a を用いて表せ.

1996 京都大学 前期

文系

30点

易□ 並□ 難□

【5】 点 O を中心とする円周の 6 等分点を P1 P 2 P 6 とする.サイコロを 3 回振り,出た目が順に i j k のときの得点を次のように定める. i j k の中に同じものがあれば 0 点とする. i j k がすべて異なるときは,円の中心 O が三角形 Pi P jP k の内部にあれば 3 点,辺上にあれば 2 点,外部にあれば 1 点とする.得点の期待値を求めよ.

1996 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】  xyz 空間の 3 A ( 1,0, 0) B ( 0,1, 0) C ( 0,0, 1) と, z=0 で表される平面上の直線 l x+y =0 の上を動く点 P ( t,-t ,0) を考える.点 A を通り,直線 l に垂直な平面を α とする. t> 12 のとき, 4 面体 ABCP と平面 α が交わってできる図形の面積 S (t ) の最大値を求めよ.

1996 京都大学 前期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 平面上の 1 次変換 f に対し, f( v ) v かつ f3 (v ) =v となるベクトル v が存在するならば, f3 は恒等変換であることを示せ.ただし f3= f( ff ) である.

1996 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】 与えられた自然数 k に対し,数列 { an }

a1 =0 a n= [ an- 1+k 3 ] n2

によって定める.ただし実数 t に対し [ t] t を超えない最大の整数を表す.

(1)  k=8 および k =9 のとき,数列 { an } を求めよ.

(2) すべての自然数 n に対し,次の 2 つの不等式

an k-1 2 an a n+1

が成り立つことを示せ.

(3)  an =an +1 ならば, n 以上のすべての整数 m に対し an= am であることを示し,このときの a n の値を求めよ.

1996 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面上の正三角形 ABC を考える. ABC の重心は原点 O にあり,ベクトル OA の長さは 1 とする. ABC の内部または辺上の点 P0 に対し, 3 頂点 A B C から 1 点を等確率 13 で選び,この頂点と P0 の中点を P1 とする.次に点 P1 に対して同様の操作を行い得られた点を P2 とし,以下この操作を繰り返して,点 P3 P 4 P n を作る.ベクトル OPn の長さの 2 | OPn |2 の期待値を E n とおく.

(1)  E1 をベクトル OP0 の長さを用いて表せ.

(2) 選んだ頂点が X1 X 2 X n のとき,ベクトル OPn をベクトル OP0 OXi i=1 2 n を用いて表せ.

(3)  P0 が原点 O のとき E n を求めよ.

1996 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】 ガソリンを x kg 積んだ状態で時速 v km で走るとき,毎時 100 +x100 ekv kg のガソリンを消費する車がある.ここで k は正の定数である.この車を用いて 100 km 離れた地点へ一定速度で行くとき,ガソリンの消費量を最小にするには,最初に積むガソリンの量と走行速度をどのようにすればよいか.ただし,ガソリンが無くなれば車は直ちに停止するものとする.

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