Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1996年度一覧へ
大学別一覧へ
京都大学一覧へ
1996-10541-0201
1996 京都大学 後期
文系
理系【1】の類題
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】(1) cos⁡5 ⁢θ=f ⁡(cos ⁡θ ) をみたす多項式 f ⁡(x ) を求めよ.
(2) cos⁡ π 10⁢ cos ⁡3 ⁢π10 ⁢ cos⁡ 7 ⁢π10 ⁢ cos⁡ 9 ⁢π10 = 516 を示せ.
1996-10541-0202
【2】 n は 2 以上の自然数, p は素数, a0 , a1 ,⋯ , an -1 は整数とし, n 次式
f⁡( x)= xn+ p⁢a n-1 ⁢xn -1+ ⋯+p⁢ ai⁢ xi+ ⋯+ p⁢a0
を考える.
(1) 方程式 f ⁡(x )=0 が整数解 α を持てば, α は p で割り切れることを示せ.
(2) a0 が p で割り切れなければ,方程式 f ⁡(x )=0 は整数解をもたないことを示せ.
1996-10541-0203
理系【3】の類題
【3】 平面上に,原点において 60 度で交わる 2 直線 l , m がある.この平面上に点 P1 をとり, P1 と直線 l について対称な点を Q1 , Q1 と直線 m について対称な点を P2 と定め,以下同様に点 Q2 , P 3 , ⋯ を定める.
(1) P 4= P1 となることを示せ.
(2) 点 P1 が単位円周上を動くとき,点 P1 , Q 1 , P2 , Q 2 , P3 , Q 3 , P4 をこの順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ.
1996-10541-0204
【4】 a は負でない実数とする. - 12 ≦ x-y x+y ≦ 12 をみたすすべての正の実数 x , y に対し,
x3- 3⁢a2 ⁢x⁢ y2+ 2⁢y3 ≧0
が成り立つような a の範囲を求めよ.
1996-10541-0205
理系【6】の類題
【5】 n を 3 以上の整数とする.円周上の n 等分点のある点を出発点とし, n 等分点を一定の方向に次のように進む.各点でコインを投げ,表が出れば次の点に進み,裏が出れば次の点を飛び越してその次の点に進む.
(1) 最初に 1 周まわったとき,出発点を飛び越す確率 p n を求めよ.
(2) 1 周目では出発点を飛び越し, 2 周目に出発点を踏む確率 r n を求めよ.
1996-10541-0206
理系
文系【1】の類題
配点35点
【1】 n は自然数とする.
(1) すべての実数 θ に対し
cos⁡n ⁢θ= fn⁡ (cos⁡ θ) ,sin ⁡n⁢θ =gn ⁡(cos ⁡θ) ⁢sin⁡ θ
をみたし,係数がともにすべて整数である n 次式 fn⁡ (x ) と n -1 次式 gn⁡ (x ) が存在することを示せ.
(2) fn ′⁡( x)= n⁢g n⁡( x) であることを示せ.
(3) p を 3 以上の素数とするとき, fp ⁡( x) の p -1 次以下の係数はすべて p で割り切れることを示せ.
1996-10541-0207
京大入試問題数学解答集さんの解答(PDF)へ
【2】 m ,n は自然数で, m<n をみたすものとする. mn +1 , n m+1 がともに 10 の倍数となる m , n を 1 組与えよ.
1996-10541-0208
文系【3】の類題
【3】 平面上に 60 度で交わる 2 直線 l , m がある.この平面上に点 P1 をとり, P1 と直線 l について対称な点を Q1 , Q 1 と直線 m について対称な点を P2 と定め,以下同様に点 Q2 , P 3 , ⋯ を定める.
(2) 点 P1 が 2 直線 l , m の交点を中心とし半径 1 の円周上を動くとき,点 P1 , Q 1 , P2 , Q2 , P3 , Q 3 , P4 をこの順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ.
1996-10541-0209
【4】 x ,y は x +y>0 , x-y >0 をみたす実数とする.ある 4 面体の隣り合う 2 辺の長さが x+y , x-y で,残り 4 辺の長さはすべて 1 であるという.このような条件をみたす点 ( x,y ) の存在範囲を図示せよ.
1996-10541-0210
【5】 a は与えられた実数で, 0<a ≦1 をみたすものとする. xyz 空間内に 1 辺の長さ 2 ⁢a の正三角形 ▵ PQR を考える.辺 PQ は x y 平面上にあり, ▵PQR を含む平面は x y 平面と垂直で,さらに点 R の z 座標は正であるとする.
(1) 辺 PQ が x y 平面の単位円の内部(周を含む)を自由に動くとき, ▵PQR (内部を含む)が動いてできる立体の体積 V を求めよ.
(2) a が 0 ≦a≦1 の範囲を動くとき,体積 V の最大値を求めよ.
1996-10541-0211
文系【5】の類題
【6】 n を 3 以上の整数とする.円周上の n 等分点のある点を出発点とし, n 等分点を一定の方向に次のように進む.各点でコインを投げ,表が出れば次の点に進み,裏が出れば次の点を飛び越しその次の点に進む.
(2) k は 2 以上の整数とする. k-1 周目までは出発点を飛び越し, k 周目に始めて出発点を踏む確率を q n,k とする.このとき limn→ ∞q n,k を求めよ.