1996　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& a\end{array}\right)$で表される$1$次変換による$3$点$(1,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,1)$の像をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$a=a_1$のとき$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は一直線上にある．$a_1$の値およびこの直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$a=a_2$のとき$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る円は直線$l$に接する．$a_2$の値を求めよ．

【２】　$p\text{，}q$を定数とする，関数

$f(x)=x^4+p{x}^3-x^2+qx+1$

は$x=\alpha$で極小値$0$をとっている．

(1)　$f(x)$は${(x-\alpha )}^2$で割り切れることを示せ．

(2)　さらに$f(x)$は$x=\beta \text{（}\beta >\alpha \text{）}$でも極小値$0$をとっている．このとき${(\alpha +\beta )}^2\text{，}\alpha \beta$の値および$f(x)$の極小値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq \sin x\leqq x$が成り立つことを示せ．

(2)　関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 1& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

このとき$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^{\prime }(0)$の値を求めよ．

【４】　$e$を自然対数の底とする．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}dx$および${\displaystyle {\int }_1^e}{\left({\displaystyle \frac{\log x}{x}}\right)}^{2}dx$の値を求めよ．

(2)　関係式$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}+{\displaystyle {\int }_1^e}{\{f(x)\}}^{2}dx-a$を満たし，$f(e)<0$であるような関数$f(x)$が存在するための定数$a$に対する条件を求めよ．

【５】　$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,0,1)$がある．原点を$\mathrm{O}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は$\angle \mathrm{PAO}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}\angle \mathrm{PBO}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}\angle \mathrm{PCO}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たしながら$xy$平面上を動いている．

(1)　$\sin \angle \mathrm{BAC}$の最大値を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$は正三角形にはならないことを示せ．

【６】　さいころを$4$回投げ，出た目を順に$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3\text{，}{n}_4$とする．これに対し$xy$平面上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を

$\mathrm{A}=(n_1,n_2)\text{，}\mathrm{B}=(n_3,n_4)$

で定める．

(1)　$\mathrm{A}=\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\ne \mathrm{B}$であって線分$\mathrm{AB}$（両端も含む）と直線$y=x$が共有点をもつ確率を求めよ．