1996　大阪大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を$0$以上の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b}$を示せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$が$a+b+c=3$をみたしながら動くとき

$2^a+2^b+2^c$

の最大値を求めよ．また，最大値を与える$a\text{，}b\text{，}c$の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BO}$のおのおのを$t:1-t$の比に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．ここで$t$は$0<t<1$をみたす実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　

${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|}}={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}}$

が$t$の値によらず成り立つのは$▵\mathrm{OAB}$がどのような三角形のときか．

【３】　曲線$y=x(x-a)(x-b)(x-c)\text{（}0<a<b<c\text{）}$と$x$軸との交点を左から順に$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$とこの曲線によって囲まれる部分をそれぞれ$S\text{，}T\text{，}U$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S$と$T$の面積が等しくなるための必要十分条件は

$3b^2-5(a+c)b+10ac=0$

であることを示せ．

(2)　上の曲線を$y$軸に関して対称移動し，次に$x$軸の正の方向に$c$だけ平行移動してできる曲線の式を求めよ．

(3)　$S$と$T$と$U$の面積がすべて等しいとき，$b\text{，}c$を$a$を用いて表せ．

【１】　次の$2$条件(イ)，(ロ)を同時にみたす整数$a\text{，}b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【２】　$a$を正の数として，$2$平面$\alpha \text{，}\beta$

$\alpha :{\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{a}}+z=1\text{，}\beta :{\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{a}}-z=1$

と$2$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,a,0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}(0,0,0)$の平面$\alpha$に関する対称点を$\mathrm{C}\text{，}$平面$\beta$に関する対称点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{CD}$と平面$z=0$との交点が$▵\mathrm{ABO}$の内部（ただし，線分$\mathrm{AB}$を含める）にあるための$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a=2$とする．点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上を動き，点$\mathrm{Q}$が平面$\beta$上を動くとき，線分の長さの和

$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QO}$

の最小値とそのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　不等式

$n\log n-n+1<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log k<(n+1)\log n-n+1$

が成り立つことを示せ．

(2)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{(n!)}^{\frac{1}{n\log n}}$

を求めよ．

【４】　中心$\mathrm{O}$半径$1$の円の円周上の$2$点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$\mathrm{P}$における円の接線と直線$\mathrm{OQ}$との交点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{P}$から$\mathrm{OQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$と線分$\mathrm{PH}\text{，}\mathrm{HQ}$で囲まれる部分を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OPR}$の面積$S_1$と$D$の面積$S_2$に対して

$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$

を求めよ．

(2)　$\mathrm{OR}$を軸として$▵\mathrm{OPR}$を回転させてできる立体の体積$V_1$と$D$を回転させてできる立体の体積$V_2$に対して

$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{V_2}{{\theta }^2{V}_1}}$

を求めよ．

【５】　黒玉が$2$個入っている箱がある．いま，次のような試行を繰り返す．箱から無作為に玉を$1$個取り出す．もし取り出した玉が黒玉ならばさいころを投げ，出た目が$4$以下のときはそれをそのまま箱に戻し，出た目が$5$以上のときはそれを白玉と取りかえて箱に戻す．もし取り出した玉が白玉ならばそのまま箱に戻す．

　$n$回目の試行が終わったとき箱に入っている白玉の数を$X_n$とし，$X_n=k$である事象$\{X_n=k\}$の起こる確率を$P(X_n=k)$で表す．

　ただし，$P(X_0=0)=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　事象$\{X_{n-1}=0\}$および$\{X_{n-1}=1\}$のそれぞれのもとで事象$\{X_n=1\}$の起こる条件つき確率を求めよ．

(2)　$P(X_n=1)$を$P(X_{n-1}=1)$を用いて表せ．

(3)　$X_n$の確率分布を求めよ．

(4)　$n$回目の試行が終わったときに箱に入っている白玉の数がはじめて$2$個になる確率を求めよ．